è Topologydiagramma strinGravity STRINGravità. La relatività, come detto, non è in grado di descriverla a causa delle violente uttuazioni quantistiche che si veri cano [16] [18]. Veneziano, Nambu, Polyakov, Green, Schwarz, Witten, Polchinsky e molti altri hanno formulato una teoria in grado di conciliare la meccanica quantistica, che spiega fenomeni atomici, con la relatività generale, che, invece, spiega le proprietà di dell'universo su larga scala, nota come Teoria delle Stringhe. Si ipotizza che la Teoria delle Stringhe, contenga il Modello Standard e possa essere la teoria nale che descrive in un solo ambito tutte le forze e le particelle (Teoria del Tutto) [16]. 2.2 Funzione di partizione di stringa bosonica Le stringhe sono oggetti unidimensionali che hanno una lunghezza caratteristica dell'ordine della lunghezza di Planck. Alla struttura e al modo di vibrare di una stringa, corrispondono diverse particelle elementari, allo stesso modo in cui ad una certa vibrazione di una corda di un violino corrisponde una nota. Quindi mentre nella teoria dei campi si prende in considerazione una particella, che è una entità zero-dimensionale e che muovendosi da origine alla linea d'universo, nella teoria delle stringhe consideriamo oggetti uni-dimensionali, i quali spostandosi spazzano un area detta world-sheet o super cie d'universo Fig.( 2.1). Figura 2.1 Le stringhe possono essere aperte o chiuse. Una stringa chiusa è una stringa che non ha punti nali, come un cerchio, mentre una stringa aperta ha due punti nali 1Per lunghezza di Planck si intende la distanza alla quale la gravità diviene dello stesso ordine di grandezza delle altre interazioni. 49 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA ed è topologicamente equivalente a un intervallo lineare. La stringa risolve i problemi di divergenza ultravioletta a fronte dell'introduzione di un numero in nito di particelle. La quantizzazione della Teoria di Stringa Bosonica può essere eettuata sia nello schema canonico nel cono di luce o in modo covariante, che nel formalismo dell'integrale sui cammini. 2.2.1 Quantizzazione mediante formalismo degli integrali sui cammini Al ne di studiare l'azione sul world-sheet, prendiamo inizialmente in considerazione la lagrangiana per una particella relativistica per poi generalizzarla al nostro caso. In uno spazio a D dimensioni, possiamo descrivere il moto di una particella dando la sua posizione in termini di D-1 funzioni del tempo, x(t). A nché sia valida l'invarianza di Lorentz, introduciamo il tempo proprio , ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella, che descrive il moto nello spazio-tempo da D funzioni X( ). L'azione di una particella relativistica è S = m Z d _X X 1=2 (2.1) che risulta essere proporzionale alla lunghezza della linea d'universo, che coincide con quella misurata nel sistema di riferimento proprio. La variazione dell'equazione (2.1), integrando per parti, è S = m Z d u X (2.2) dove u = _X _X _X 1=2 : (2.3) L'azione (2.1) non è lineare dato che contiene una radice quadrata e risulta, quindi, di cile da quantizzare. Inoltre non descrive particelle a massa nulla. Introduciamo un campo ausiliario e(t), in modo da ottenere S0 = 1 2 Z d 1 e @X @ @X @ + m2 e : (2.4) Dall'equazione del moto per e(t) otteniamo S0 e = 0 ) e = s _X _X m2 ; (2.5) che sostituito nell'equazione (2.4) restituisce nuovamente la (2.1). Osservando che il momento coniugato della particella è p = @L @ _X = _X e ; (2.6) 50 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA le equazioni del moto di e equivalgono alla condizione di mass shell p2 + m2 = 0. Inoltre per m = 0 l'azione (2.4) è ancora valida. Essendo le stringhe oggetti unidimensionali, lo spazio in cui sono descritte richiede, oltre al tempo proprio , anche un parametro aggiuntivo che descriva la coordinata lungo la stringa. Le funzioni X( ,) descrivono le stringhe, de nendo la forma del world-sheet preso in considerazione. L'azione di Nambu-Goto [17], cioè l'azione proporzionale all'area del foglio d'universo, è SNG = T Z M d d p det gab (2.7) dove T = 1=(2 0) è la tensione di stringa ([T] = L2), 0 è la pendenza di Regge, gab = @aX@bX è la metrica indotta sul world-sheet e M indica il foglio d'universo. Esplicitando il determinante della metrica, possiamo riscrivere l'equazione (2.7) come SNG = T Z M d d r _X X0 2 _X 2X02: (2.8) Notiamo che, anche in questo caso, compare una radice quadrata. Possiamo riscrivere l'azione di Nambu-Goto introducendo la metrica bidimensionale sul world-sheet [19] ab( ; ), con la segnatura di Lorentz (–,+): SP = T 2 Z M d d p
ab@aX@bX; (2.9) dove = det ab. La (2.9) è detta azione di Brink-Di Vecchia-Howe-Deser-Zumino o di Polyakov e come vedremo gioca un ruolo cruciale nel calcolo del path integral [20] [21]. L'azione (2.9) ha le seguenti simmetrie: invarianza di Poincaré2 X0( ; ) = X( ; ) + a
0 ab( ; ) = ab( ; ); (2.10) invarianza per dieomor smi del world-sheet X0( 0; 0) = X( ; ); @0c @a @0d @b 0 cd = ab( ; ); (2.11) per nuove coordinate 0 = 0( ; ), 0 = 0( ; ). invarianza bidimensionale di Weyl X0( ; ) = (X( ; );
0 ab( ; ) = e2!( ;) ab( ; ) (2.12) per un !( ; ) arbitrario. 2Il gruppo di Poincarè è costituito dal gruppo di Lorentz e dal gruppo delle traslazioni. 51 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Vogliamo calcolare la funzione di partizione per la stringa bosonica, ovvero la Z = Z dgab dx eSP [x;g]; (2.13) dopo aver fatto la rotazione di Wick dalla metrica ab alla metrica Euclidea gab(1; 2) di segnatura (+; +). L'integrale su tutte le con gurazioni (x; gab) contiene un enorme sovrastima, in quanto con gurazioni collegate tra loro dalla simmetria locale diffWeyl, rappresentano la stessa con gurazione sica. Per evitare ciò dobbiamo dividere per il volume del corrispondente gruppo Z = Z dgabdx VdiffWeyl eSp ; (2.14) e utilizzare il metodo di Fadeev-Popov. Nel caso, infatti, in cui l'azione presenti delle simmetrie, esistono modi nulli, e una integrazione su tutte le con gurazioni del campo darebbe 1. Il metodo di Fadeev e Popov ci permette di ssare il gauge, integrando su una curva tale che intersechi ogni classe di equivalenza di gauge una sola volta, come illustrato in Fig.( 2.2). Figura 2.2 Indichiamo con i dieomor smi che danno luogo alle trasformazioni di Weyl della metrica : g ! g; g ab(0) = e2!() @c @0c @d @0b gcd(): (2.15) Possiamo de nire la misura di Fadeev-Popov FP come 1 = FP (g) Z d (g g); (2.16) 52 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA dove d è la misura gauge invariante del gruppo diff Weyl e con la funzione delta abbiamo imposto che gab() = g ab(). Inserendo la (2.16) in (2.14), otteniamo Z = Z d dxdg VdiffWeyl FP (g) (g g) eSP [x;g] = = Z d dx VdiffWeyl FP (g) eSP [x0;g]: (2.17) dove abbiamo indicato con x0 le nuove coordinate dopo avere eettuato l'integrazione della delta. Sapendo che FP è gauge invariante FP (g)1 = Z [d0](g g0 ) = Z [d0](g g10 ) = Z [d00](g g00 ) = FP (g)1; (2.18) come anche la misura d'integrazione [dx ] e l'azione SP [x0; g], otteniamo Z = Z [ddx] VdiffWeyl FP eSP [x;g]: (2.19) L'integrando in (2.19) dipende solo da e, quindi, l'integrazione su corrisponde proprio al volume del gruppo. La (2.19) è una somma su tutte le geometrie (Fig.( 2.3)): al termine di ordine g corrisponde il multitoro con g manici (Fig.( 2.3)). Figura 2.3 Siamo interessanti al caso ad 1-loop, cioè alla super cie con la topologia del toro. Possiamo pensare a un toro come un parallelogramma nel piano w, dove w = 1 + 2, con metrica d2s = dwd w e con condizioni periodiche w w + m + n : (2.20) Il parametro è noto come parametro di Teichmüller o modulo del toro e si può sempre scegliere con Im( ) > 0. Il toro inoltre piastrella un reticolo generato dai vettori 1 e . Altrimenti possiamo ssare la periodicità delle coordinate, a scapito 53 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA d(ella metrica, come illustrato in Fig.( 2.4). Scrivendo w = w1 + iw2, abbiamo w1 w1 + m + n 1 w2 w2 + n 2 . De niamo w = 1 + 2 = 1 + 12 + i 22 (2.21) dove ( 1 = w1 1 2w2 2 = 1 2w2: (2.22) Le equazioni (2.22) portano alle identi cazioni 1 1 + m 2 1 + n (2.23) con metrica ds2 = jd1 + d2j2. Figura 2.4 Dobbiamo comunque dire che non tutti i valori di nel semipiano superiore complesso corrispondono a tori inequivalenti. Piuttosto, tutti i valori relativi al gruppo modulare PSL(2; Z) = SL(2; Z)=Z2 agiscono su come ! a + b c + d ; (2.24) dove a; b; c; d 2 Z e ad bc = 1. Le trasformazioni ( S : 7! 1 T : 7! + 1 (2.25) generano il gruppo modulare. Possiamo, quindi, de nire una regione fondamentale F, mostrata in Fig.( 2.5), nella quale ogni nel semipiano complesso positivo può essere ottenuto unicamente come una trasformazione modulare agente su qualche 2 F. 54 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Figura 2.5 Consideriamo ora x e gab funzioni periodiche di 0 < 1 < 1 e 0 < 2 < 1: ( x(1 + 1; 2) = x(1; 2 + 1) = x(1; 2) gab(1 + 1; 2) = gab(1; 2 + 1) = gab(1; 2): (2.26) Qualsiasi metrica, che rispetti in due dimensioni, si può porre nella forma ds2 = gabdadb = e()jd1 + d2j2; (2.27) attraverso una Trasformazione Generale di Coordinate, con un numero complesso e, come già detto, Im( ) > 0. Qualsiasi variazione della metrica è pari alla somma di una trasformazione di Weyl, di una trasformazione generale di coordinate e una variazione di [22] gab() = gab () + a;b() + b;a() + gab;i() i; (2.28) dove 1 = Re( ), 2 = Im( ). Sapendo che l'integrale sulla metrica si separa in un integrale sul gruppo di Weyl, un integrale sul gruppo delle coordinate generali e un integrale su , dobbiamo tener conto anche dello Jacobiano, di modo che [23] dg = (dd)0d2 J(; ); (2.29) dove l'apice indica la misura priva di modi nulli. Infatti le variazioni ( a() = a () = a@a() (2.30) per a costante danno gab = 0. De niamo le metriche per piccole variazioni nei campi 8>>>< >>>: jjgjj2 = R d2 p g(gacgbd + Cgabgcd)abcd jjjj2 = R d2 p g2 jjjj2 = R d2 p ggabab jjxjj2 = R d2 p gxx (2.31) 55 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA dove C è una costante arbitraria. De niamo ora, implicitamente, la normalizzazione delle misure in termini degli integrali gaussiani 8>>>>>>< >>>>>>: R dgejjgjj2=2 = 1 R dejjjj2=2 = 1 R dejjjj2=2 = 1 R dxejjxjj2=2 = 1 R d2 e i i R d2p g=2 = R 2 d2g p g (2.32) dove d2 = d 1d 2. Considerando le condizioni (2.30), possiamo scrivere [23] dd = (dd)0d1d2 (2.33) e jjjj2 = Z d2 p g() = = Z d2 p g() 0 + Z d2 p g(a@a)(b@b) (2.34) jjjj2 = Z d2 p qgabab = = Z d2 p ggab(ab) 0 + Z d2 p ggab(ab): (2.35) Moltiplicando entrambi i lati per la quantità ejjjj2=2jjjj2=2 e integrando, otteniamo 1 = Z d1d2e1 2 R d2 p ggabab@a@b) Z (dd) 0 ejjjj2=2jjjj2=2: (2.36) Anche per lo Jacobiano J(; ), moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione (2.28) per la quantità ejjgjj2=2 e integriamo, ottenendo così 1 = J(; ) Z (dd)0d2 ejjgjj2=2; (2.37) dove jjgjj2 = a i M 2 4 j 3 5: (2.38) La matrice M conviene scriverla come un prodotto M = J N JT (2.39) 56 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA con J = 2 4 1 0 0 Da a c 0 1 2gefgef;i 0 ik 3 5 (2.40) N = 2 4 2 + 4C 0 0 0 2c d 2De i e c 0 2 k edDe kef l ef 3 5 (2.41) JT = 2 4 1 Db 1 2gefgef;i 0 d b 0 0 0 lj 3 5 (2.42) dove c d = c dD2 DdDc + DcDd e iab = gab;i 1 2gabgcd gcd;i. Procediamo calcolando il det(M): notiamo che il termine 2De i e c è nullo e quindi, essendo la matrice M triangolare superiore, il determinante sarà det(M) = det(2 + 4C) det(2c d) det( kef l ef ). Nel caso del toro, poiché i simboli di Christoel sono nulli, possiamo scrivere 2c d = 2[c d@2@d@c +@c@d] = 2c d@2. In ne il termine kef l ef è kef l ef = @kgef 1 2 gefgcd@kgcd gefgf Dlg 1 2 g g @lg = = @kg @lg 1 2 g @kg g @lg 1 2 g @lg gcd@kgcd + 1 2 gcd@kgcdg @lg : Perciò il determinante dei tre termini è det(N) = det(2 + 4C) det(2c d@2) det( kef l ef ) = = det(2 + 4C) det(c d@2@kg @lg + c d@2g @kg g @lg + c d@2g @lg gcd@kgcd 1 2 c d@2gcd@kgcdg g g @lg ) = = det(2 + 4C) det(g @2) det( 2c d@k@lg + c d@kg g @lg + c dg @lgcd@kgcd 1 2 c dgcd@kgcdg g @lg = = det(2 + 4C)det 0 [2d c gab@a@b] 2 2 2 Inoltre det(J) = det 2 4 1 0 0 Da a c 0 1 2gefgef;i 0 ik 3 5 = 1 det a c 0 0 ik = 1; (2.43) allora possiamo riscrivere l'equazione (2.37) come 1 = R 2 d2 p g (detQab) 1 2 2 1 det(M) J(; ) = = (detQab) 1 2 R d2 p g J(; ) 1 det(M) : (2.44) 57 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Osservando che det(M) = det(J) det(N) det(JT ) = det(N), l'equazione (2.44) è 1 = (detQab) 1 2 R d2 p g det(N) 1 2 J(; ) ) J(; ) = R d2 p g (det(Qab) 1 2 det(N) 1 2 : (2.45) Procediamo considerando l'integrazione su x, che può essere separata come x() = x + x0 (); (2.46) dove x0() è ortogonale alla costante. Possiamo inoltre de nire Z dx0 ejjxjj2=2 = R d2p g 2 1 2 : (2.47) Sapendo che dx = dxdx0 e che l'integrazione su x0 diverge, poniamo il sistema in una scatola periodica di dimensioni d e con lati di lunghezza L. Quindi otteniamo Z dxeT 2 R d2 p ggab@ax@bx = Y L nR 2 d2p g det 0(T p g1@agabp g@b od 2 : (2.48) Riscriviamo l'equazione (2.14) come Z = Z dgabdx VGCVW eT 2 R d2 p ggab@ax@bx = = Z (dd)0d2 VGCVW J(; ) Y L R 2 d2 p g det 0(T p g1@agabp g@b)d 2 : (2.49) Dall'equazione (2.45), Z è Z = Z (dd)0d2 VGCVW R d2 p g (detQab) 1 2 (det 0N) 1 2 Y L R 2 d2 p g det 0(T p g1@agabp g@b)d 2 = = Z (dd)0d2 VGCVW Y L (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)1 2 (2)d 2 det 0 (T p g1@agabp g@b)d 2 : (2.50) Il volume del gruppo di Weyl è proprio R d, mentre il gruppo delle coordinate generali è la componente connessa moltiplicata per un gruppo D di trasformazioni disconnesse che lasciano invariate le condizioni (2.30). Una scelta di gauge ssa alcune delle trasformazioni e rimane invariata in un sottogruppo ~D. Il determinante di Fadeev-Popov contiene un fattore order(D)=order(~D ). Sapendo che il VGC contiene un fattore order(D), il denominatore è [23] VGCVW ! order(~D) Z d Z d: (2.51) Al ne di eliminare l'integrazione su e tra numeratore e denominatore dobbiamo considerare che: 58 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA i volumi delle integrazioni complete ( R dd) e ristrette( R (dd)0d1d2) sono collegate in quanto l'intervallo d'integrazione di 1 e 2 è da 0 a 1, infatti Z dd = Z (dd)0 Z 1 0 d1 Z 1 0 d2 = Z (dd)0 (2.52) la quantità (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)1 2 (2)d 2 det 0(T p g1@agabp g@b)d 2 (2.53) nell'equazione (2.50) è indipendente da . Ogni dipendenza emerge dall'anomalia conforme. Questa è una proprietà locale e, a prescindere dalla topologia, vale ln (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)1 2 (2)d 2 det 0(T p g1@agabp g@b)d 2 = = 26 d 96 @2 + (2 2)e; (2.54) come dimostrato da Polyakov [22]. Il primo termine si annulla nella dimensione critica d = 26, mentre nel secondo, la somma di tutti i contributi quantistici 2 può essere cancellato con una scelta appropriata di 2. Questo è naturale nella dimensione critica, poiché il gruppo di Weyl è una simmetria esatta. Quindi possiamo eliminare l'integrazione su e e porre () = 0 nell'equazione (2.50). Eettuando i calcoli: 8>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>: Z d2 p g = 2; detQab = 4 2 ; (det 0 N) 1 2 = (det[2 + 4C]) 1 2 (det 0 [2d c gab@a@b]) 1 2 2 2 2 ; (det 0 [2d c gab@a@b]) 1 2 = det 0 [2gab@a@b] = = det 0 (2)det 0 (gab@a@b) = = 1 2 det(2) det 0(gab@a@b); det 0 (T p g1@agabp g@b) = det 0 (gab@a@b) det(T) T : (2.55) Per calcolare il determinante di (gab@a@b), facciamo uso del metodo detto Zeta Function Regularitation [15]: consideriamo un operatore A con autovalori reali e positivi a1; ; an e autofunzioni fn(x) Afn(x) = anfn(x): (2.56) 59 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA De niamo A(s) = X n 1 an s (2.57) come la function associata all'operatore A. Notiamo che dA(s) ds s=0 = X n ln(an) esan s=0 = ln Y n an ; (2.58) la quale possiamo scrivere anche come det(A) = Y n an = e dA(s) ds js=0: (2.59) Nel caso che stiamo considerando, il laplaciano agisce sullo scalare come = gab@a@b: (2.60) Le basi ortonormali per il campo scalare sono date dal set completo di autofunzioni X 0 () = X n1n2 0 an1n2 n1n2(a); n1n2(a) = 1 p 2 e2i(n22+n11): (2.61) Il set di autovalori è !n1n2 = 4 2 (gabnanb) = 42 2 2 jn2 n1j2 (2.62) Riprendendo il metodo della zeta function regularization, ciò che dobbiamo calcolare è [15] ln det 0 Y+1 n1=1 Y+1 n2=1 !n1n2 = = ln det 0 () = X n1n2 0 ln h42 2 (n2 n1 ) (n2 n1 ) i : (2.63) Considerando l'equazione (2.57), abbiamo lim s!0 d ds X n1n2 0 h42 2 (n2 n1 ) (n2 n1 ) is (2.64) Il termine n1 = n2 = 0 è incluso nella somma in nita, introducendo un regolatore di massa infrarosso, m, per i modi zero. Quindi ln det 0 = lim s!0 lim m!0 n d ds h42 2 2 sX n1n2 (n2 n1 ) (n2 n1 ) + m2 m2 io = = lim s!0 lim m!0 n d ds h42 2 2 sX n1n2 (n2 n1 )(n2 n1 ) + m2s 42m2 2 2 sio (2.65) 60 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Per calcolare più facilmente l'equazione (2.65), la separiamo momentaneamente in due parti lim m!0 lim s!0 d ds h42m2 2 2 is = lim m!0 lim s!0 h42m2 2 2 s ln 42m2 2 2 1i = 2 ln 2 (2.66) Mediante opportune manipolazioni algebriche, (n2 n1 )(n2 n1 ) = (n2 n1 1)2 + n1 2 2, possiamo scrivere X+1 n1=1 X+1 n2=1 (n2 n1 ) (n2 n1 ) + m2); (2.67) come X+1 n1=1 X+1 n2=1 (n2 n1 1)2 + x2 ; (2.68) dove x2 = n1 2 2 2+m2. Calcoliamo la sommatoria su n2 tramite trasformazione di Sommerfeld-Watson. Dal teorema dei Residui X+1 n1 [n2 + x2]s = I P n Cn dz 2i tan(z)(z2 + x2)s; (2.69) dove Cn è un cerchio che circonda il polo a z = n in senso orario. Il contorno può essere deformato senza contenere nessuna nuova singolarità all'interno delle linee di contorno, C, dove la linea C+, che va da 1+ i a 1 + i, è connessa smoothly con la linea C, che va da 1i a 1i. Altrimenti possiamo scegliere di chiudere i contorni C+ e C, rispettivamente, sopra e sotto il semipiano immaginario, lungo un cerchio di raggio in nito. Notiamo che l'integrando ha poli isolati nel piano complesso nei punti z = ix. Facendo la seguente sostituzione Per Im(z) > 0; cot(z) i = 2eiz eiz eiz 1 Per Im(z) < 0; cot(z) i = 2eiz eiz eiz 1 (2.70) otteniamo X+1 n2 (n2 n1 1)2 + x2s = I C+ dz eiz eiz eiz 1 2 (z n1 1)2 + x2 s + + I C dz eiz eiz eiz + 1 2 (z n1 1)2 + x2 s (2.71) Anche in questo caso, calcoliamo gli integrali nell'equazione (2.71) in due parti 61 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA I1(s; x) = 1 2 Z C dz Z C+ dz (z n1 1)2 + x2]s = = x2s+1 Z +1 1 du (u2 + 1)s : (2.72) Ponendo 8>< >: t = u2 dt = 2udu p t = u , otteniamo I1(s; x) = x2s+1 Z +1 0 dt t1 2 (1 + t)s (2.73) Sapendo che B(p; q) = R +1 0 tp1 (1+t)p+q = (p)(q) (p+q) , allora l'integrale in (2.73) è I1(s; x) = B 1 2 ; s 1 2 = sen(s) p 1 s s 1 2 (2.74) Eettuando la derivata e i limiti, otteniamo lim s!0 lim m!0 d ds x2s+1 sin(s) p 1 s s 1 2 = = lim m!0 p 1 1 2 x = = lim m!0 2x = = 2n1 2: (2.75) DPobbiamo ora considerare la sommatoria per n1. Sapendo che (s) = n ns = Bs+1 s+1 , otteniamo 4 2 X+1 n1=0 n1 = 4 2 (1) = 4 2 B2 2 = 1 3 2; (2.76) dove B2(q) = q2 q + 1 6 . Consideriamo l'integrale nel semipiano superiore I2(s; z) = Z C+ dz eiz eiz eiz h (z n1 1)2 + x2 is (2.77) Il risultato dell'integrale è noto [25] e de nendo il contorno intorno al taglio che parte da x e va a +1 I2(s; y) = 2 sin(s) Z +1 x dy ey ey ey h (y + in1 1)2 x2 is : (2.78) 62 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Deriviamo d ds I2(s; y) = 2 cos(s) Z +1 x dy ey ey ey h (y + in1 1)2 x2 is 2 sin(s) Z +1 x dy ey ey ey h (y + in1 1)2 x2 is ln (y + in1 1)2 x2 (2.79) e facciamone il limite lim s!0 d ds I2(s; y) = 2 Z +1 xin1 1 dy ey ey ey = 2 ln h 1 e2(xin1 1) i : (2.80) Similmente, per il semipiano inferiore, de nendo il contorno intorno al taglio che va da x a 1, abbiamo I3(s; y) = Z C dz eiz eiz eiz h (z n1 1)2 + x2 is = 2 sin(s) Z +1 x dy ey ey ey h (z + n1 1)2 x2 is (2.81) Anche in questo caso, deriviamo e facciamo il limite, così da ottenere lim s!0 d ds I3(s; y) = 2 Z +1 xin1 1 dz ey ey ey = = 2 ln h 1 e2(xin1 1) i : (2.82) Quindi in de nitiva abbiamo S = 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1e2in1 1 i lim m!0 h m+2 ln(2m) 2 ln 1e2m i (2.83) Sviluppando e2m 1 2m, otteniamo S = 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1 e2in1 1 i lim m!0 h m + 2 ln(2m) 2 ln(1 1 + 2m) i = = 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1 e2in1 1 i : (2.84) Considerando anche il contributo di (2.66), segue eln( 2 2) 2 3 +4 P+1 n1=1 ln[1exp(2in1 1)] = 2 2 e 2 3 Y+1 n=1 (1 qn1)4 (2.85) 63 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA dove q = e2i . Quindi il determinante di gab@a@b vale [23] det 0 (gab@a@b) = 2 2 e 2=3jf(e2i )j4 (2.86) dove f(e2i ) = Q1 n=1(1 e2i ). Poiché ogni nel semipiano immaginario superiore può essere ottenuto come una trasformazione modulare agente su qualche 2 F, rimane una sola doppia invarianze di gauge 1 ! 1 2 ! 2 (2.87) cosicché order(~D) = 2. Considerando d = 26, l'equazione (2.50) può essere riscritta Z = Z ddd2 VGCVW Y L (detN) 1 2 ( Z d2 p g)14(detQab)1 2 (2)13 det(T p g1@agabp g@b)13: (2.88) Dalle equazioni (2.55) e (2.86), otteniamo Z = Z d2 Y L det(2+4C) 1 2 (det(2)) det(T)( 2 2 )14e4 2(2)13T13(jf(e2i )j4)12 (2.89) Sapendo che il determinante di una costante è un contributo a 2 e può essere eliminato [23], otteniamo in ne Z = T13 Y L Z F d2 4 2 2 e4 2(2 2)12jf(e2i )j48: (2.90) 2.2.2 Quantizzazione nel cono di luce Consideriamo ora la quantizzazione nel cono di luce. Variando l'azione di Polyakov rispetto ad X e ab, ricaviamo le azioni del moto dei campi di stringa X e della metrica gab: S X = T Z d d@a p
ab@bX X T Z d p @XX = =0 : (2.91) 64 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA per le stringhe chiuse le coordinate che cancellano i termini di bordo sono 8>< >: X0 ( ; 0) = X0 ( ; ) X( ; 0) = X( ; )
ab( ; 0) = ( ; ): (2.92) Quindi dall'equazione (2.91) abbiamo @a p
ab@bX = 0: (2.93) La soluzione dell'operazione (2.93) può essere resa più immediata se si sceglie una gauge opportuna. Grazie all'invarianza sotto dieomor smi dell'azione, possiamo introdurre un sistema di coordinate tali da rendere la metrica piatta a meno di un fattore conforme. infatti
ab = ab e = 1 0 0 1 e: (2.94) Questa metrica è detta Gauge Conforme. Perciò possiamo scrivere le equazioni del moto come @2 @2 @2 @ 2 X( ; ) = 0: (2.95) L'equazione (2.95) è l'equazione delle onde bidimensionale, la cui soluzione è X( ; ) = X L( + ) + X R( ): (2.96) Dalle condizioni di periodicità (2.92), otteniamo la soluzione per X L e X R X L( + ) = x 2 + 0 p( + ) + i p 2 0 2 X n6=0 ~ n e2in( +) X R( ) = x 2 + 0 p( ) + i p 2 0 2 X n6=0 n e2in( ): (2.97) Quindi l'equazione (2.96) si può scrivere come X = x + 2 0 p + i p 2 0 2 X n6=0 n n e2in( ) + ~ n e2in( +) : (2.98) Notiamo che X e P sono la posiazione e l'impulso del centro di massa della stringa, mentre ~ e ~ sono le ampiezze dei modi di Fourier sinistro e destro. S ab = T 2 p
1 2
ab a b @aX@bX = 0 (2.99) 65 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Il tensore energia impulso è de nito come Tab = 2 T 1 p
S
ab = @aX@bX 1 2
ab@cX@cX = 0 (2.100) Il tensore Tab gode delle seguenti proprietà 1. è simmetrico Tab = Tba 2. per l'equazione del moto (2.93) è nullo @aTab = 0 3. dall'invarianza sotto trasformazione di Weyl, ha traccia nulla Ta a = gabTab = 0 Una teoria di campo che ha un tensore energia impulso cone le proprietà precedentemente elencate è invariante conforme. L'azione (2.9) può essere riscritta come S = T 2 Z +1 1 d Z 0 d h (@tX)2 (@X)2 i (2.101) e i vincoli (2.100) invece T11 = T00 = 1 2 ( _X 2 + X 02 ) T10 = T01 = _X X 0 = 0; (2.102) dove _X = @X @ e X0 = @X @ . Questi vincoli possono essere scritti nella forma equivalente di Fubini e Veneziano _X X 0 2 = 0: (2.103) Ponendo = , abbiamo X(+; ) = X L(+)+X R(), mentre i vincoli sul tensore Tab nelle nuove coordinate possono essere scritti come T++ = 1 2 T + T = @+X@+X T = 1 2 T T = @X@X (2.104) Introduciamo i modi di Fourier, noti come operatori di Virasoro Lm = 1 0 Z 2 0 dT eim( ) = 1 2 X+1 1 mn n ~L m = 1 0 Z 2 0 dT++ eim( +) = 1 2 X+1 1 ~ mn ~ n: (2.105) 66 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Dalle condizioni (2.103) otteniamo i vincoli di Virasoro ( ~L m = 0 Lm = 0 8n 2 Z: (2.106) Questi vincoli imposti sull'hamiltoniana del sistema danno luogo alla condizione di mass-shell: dal momento canonico p = S _X = T _X ; (2.107) possiamo scrivere H = Z 0 d _X p L = T 2 Z 0 d _X 2 + X 02 ; (2.108) quindi H = 2 ~L 0 + L0 : (2.109) I vincoli di Virasoro per n = 0 L0 = 1 2 X+1 n=1 n n = 0 ~L 0 = 1 2 X+1 n=1 ~ n ~ n = 0 (2.110) implicano che H = 0. Dall'equazione (1.166) otteniamo le condizioni di mass-shell M2 = 2 0 X+1 n=1 ( n n + ~ n ~ n) (2.111) e di level matching X+1 n=1 n n = X+1 n=1 ~ n ~ n: (2.112) A questo punto possiamo introdurre le coordinate del cono di luce X = X0 X1 p 2 (2.113) mentre le rimanenti coordinate Xi, con i 6= 0; 1 rimangono invariate. La simmetria locale della gauge conforme permette di ssare la cosiddetta gauge del cono di luce X+(; ) = x+ + 2 0 p+ : (2.114) 67 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Risolviamo i vincoli (2.104) esprimendo le coordinate X in funzione delle coordinate trasverse @+X@+X = 2@+X+@+X + (@+Xi)2 @X@X = 2@+X+@+X + (@Xi)2: (2.115) Se sostituiamo @X+ = 0p+ nell'equazione (2.115) otteniamo 2 0 p+@+X = (@+Xi)2 2 0 p+@X = (@Xi)2: (2.116) Gli oscillatori nella direzione - possono essere espressi in termini di quelli trasversi m = 1 p 2 0p+ X+1 n=1 mn n: (2.117) Nelle coordinate di cono di luce le variabili classiche, come ad esempio le coordinate di stringa X, poiché vanno interpretate come operatori hermitiani agenti sullo spazio di Hilbert, obbediscono alle relazioni di commutazione h X( ; ); P( ; ) i = i( 0 ) h x; p i = i h m; n i = h ~ m; ~ n i = mm+n h m; ~n i = 0: (2.118) Dato che X è hermitiano, segue che n y = n, cioè possiamo pensare a n come operatori di creazione, per n < 0, e distruzione, per n > 0, di oscillatori armonici. La quantizzazione richiede che gli operatori di Virasoro siano normalmente ordinati Lm = 1 2 X+1 1 : mn n + a m;0; (2.119) cioè che tutti gli operatori di distruzione siano sulla destra. L'algebra di Virasoro è h Lm; Ln i = (m n) Lm+n + D 2 12 m(m2 1) m+n h ~L m; ~Ln i = (m n) ~Lm+n + D 2 12 m(m2 1) m+n h Lm; ~Ln i = 0: (2.120) Dai modi zero dell'equazione (2.115) otteniamo le condizioni 2p+p = 4 0 L0 D 2 24 = 4 0 ~L 0 D 2 24 (2.121) 68 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA o, equivalentemente, 2p+p = 2 0 L0 + ~L0 D 2 12 ; L0 = ~L0: (2.122) Il termine costante è dato dall'ordinamento degli operatori di Virasoro L0 e ~L0, identi cando la divergenza, data dall'energia di punto zero, con un particolare valore della funzione di Rienman, (1) = 1 12 [26]. Estraendo da L0 e ~L0 i contributi dei momenti trasversi L0 = 0 4 pipi + N e ~L0 = 0 4 pipi + ~N ; (2.123) l'equazione (2.111) si può scrivere M2 = 2 0 N + ~N D 2 12 ; ~N = N (2.124) che per D = 26 è M2 = 2 0 N + ~N 2 ; ~N = N: (2.125) Ora è possibile studiarne lo spettro. Lo stato fondamentale (N = ~N= 0), j0; pi è un tachione con massa M2 = 4 0 . Gli stati per N = ~N = 1 con M2 = 0, possono essere decomposti in rappresentazioni irriducibili di SO(D 2) ed associati alle componenti siche di un tensore antisimemtrico Aij . La parte a traccia nulla hij può essere interpretata come i gradi di libertà di una particella di spin due, il gravitone, il cui campo h è associato alle uttuazioni della metrica g = +h. La traccia ha un'interpretazione naturale come un campo scalare detto dilatone e la parte antisimmetrica è un campo di Kalb-Ramond. Quindi, come detto in precedenza, i modi di vibrazione della stringa bosonica hanno numero quantici di massa e spin crescenti. Ora vediamo come la funzione di partizione, calcolata in precedenza tramite i path integral, sia in realtà la somma delle energie di vuoto delle in nite particelle che compongono lo spettro della stringa. Procediamo, quindi, considerando l'analogo calcolo in teoria dei campi. L'energia di vuoto di un campo scalare in D dimensioni, a cui corrisponde l'energia di vuoto STRINGA STRINGA Superstring String, PhysiString