Stringrammabgrundynphynytesymonty resynphynytesymonty Crisi della metaFisica stringa di stringa String-crisi della Fisica stringa stringramma della stringa vuoto della stringa. La Crisi della Fisica è l'eventità fenoumenonty CRISI DELLA FISICA CAtastrofeventua. Pansophysysinphynitesimonty la catastrofenoumeninphynytesymonty INFINITESIMONT non-essere-STRYNGrammampiezzAbGRUND PANSOPhysistryngrammynphynitesymaleventy È strinGravitygluonynphynytesymaleventy gravitonty schemabgrundynphynytesymaleventy cromontypnynytesymaleventy CATASTRINGABGrundy delle Stringheventy. Stringheventonty di stringrammabgrundy vibra stringa, corrispondono diverse particelle elementari, allo stesso modo in cui ad una certa vibrazione di una corda di un violino corrisponde una nota. Quindi mentre nella teoria dei campi si prende in considerazione una particella, che è una entità zero-dimensionale e che muovendosi da origine alla linea d'universo, nella teoria delle stringhe consideriamo oggetti uni-dimensionali, i quali spostandosi spazzano un area detta world-sheet o super cie d'universo Fig.( 2.1). Figura 2.1 Le stringhe possono essere aperte o chiuse. Una stringa chiusa è una stringa che non ha punti nali, come un cerchio, mentre una stringa aperta ha due punti nali 1Per lunghezza di Planck si intende la distanza alla quale la gravità diviene dello stesso ordine di grandezza delle altre interazioni. 49 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA ed è topologicamente equivalente a un intervallo lineare. La stringa risolve i problemi di divergenza ultravioletta a fronte dell'introduzione di un numero in nito di particelle. La quantizzazione della Teoria di Stringa Bosonica può essere eettuata sia nello schema canonico nel cono di luce o in modo covariante, che nel formalismo dell'integrale sui cammini. 2.2.1 Quantizzazione mediante formalismo degli integrali sui cammini Al ne di studiare l'azione sul world-sheet, prendiamo inizialmente in considerazione la lagrangiana per una particella relativistica per poi generalizzarla al nostro caso. In uno spazio a D dimensioni, possiamo descrivere il moto di una particella dando la sua posizione in termini di D-1 funzioni del tempo, x(t). A nché sia valida l'invarianza di Lorentz, introduciamo il tempo proprio , ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella, che descrive il moto nello spazio-tempo da D funzioni X( ). L'azione di una particella relativistica è S = ??m Z d ?? _X X 1=2 (2.1) che risulta essere proporzionale alla lunghezza della linea d'universo, che coincide con quella misurata nel sistema di riferimento proprio. La variazione dell'equazione (2.1), integrando per parti, è S = ??m Z d u X (2.2) dove u = _X ?? _X _X 1=2 : (2.3) L'azione (2.1) non è lineare dato che contiene una radice quadrata e risulta, quindi, di cile da quantizzare. Inoltre non descrive particelle a massa nulla. Introduciamo un campo ausiliario e(t), in modo da ottenere S0 = 1 2 Z d ?? 1 e @X @ @X @ + m2 e : (2.4) Dall'equazione del moto per e(t) otteniamo S0 e = 0 ) e = s ?? _X _X m2 ; (2.5) che sostituito nell'equazione (2.4) restituisce nuovamente la (2.1). Osservando che il momento coniugato della particella è p = @L @ _X = ?? _X e ; (2.6) 50 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA le equazioni del moto di e equivalgono alla condizione di mass shell p2 + m2 = 0. Inoltre per m = 0 l'azione (2.4) è ancora valida. Essendo le stringhe oggetti unidimensionali, lo spazio in cui sono descritte richiede, oltre al tempo proprio , anche un parametro aggiuntivo che descriva la coordinata lungo la stringa. Le funzioni X( ,) descrivono le stringhe, de nendo la forma del world-sheet preso in considerazione. L'azione di Nambu-Goto [17], cioè l'azione proporzionale all'area del foglio d'universo, è SNG = ??T Z M d d p det gab (2.7) dove T = 1=(2 0) è la tensione di stringa ([T] = L??2), 0 è la pendenza di Regge, gab = @aX@bX è la metrica indotta sul world-sheet e M indica il foglio d'universo. Esplicitando il determinante della metrica, possiamo riscrivere l'equazione (2.7) come SNG = ??T Z M d d r _X X0 2 ?? _X 2X02: (2.8) Notiamo che, anche in questo caso, compare una radice quadrata. Possiamo riscrivere l'azione di Nambu-Goto introducendo la metrica bidimensionale sul world-sheet [19] ab( ; ), con la segnatura di Lorentz (–,+): SP = ?? T 2 Z M d d p ??
ab@aX@bX; (2.9) dove = det ab. La (2.9) è detta azione di Brink-Di Vecchia-Howe-Deser-Zumino o di Polyakov e come vedremo gioca un ruolo cruciale nel calcolo del path integral [20] [21]. L'azione (2.9) ha le seguenti simmetrie: invarianza di Poincaré2 X0( ; ) = X( ; ) + a
0 ab( ; ) = ab( ; ); (2.10) invarianza per dieomor smi del world-sheet X0( 0; 0) = X( ; ); @0c @a @0d @b 0 cd = ab( ; ); (2.11) per nuove coordinate 0 = 0( ; ), 0 = 0( ; ). invarianza bidimensionale di Weyl X0( ; ) = (X( ; );
0 ab( ; ) = e2!( ;) ab( ; ) (2.12) per un !( ; ) arbitrario. 2Il gruppo di Poincarè è costituito dal gruppo di Lorentz e dal gruppo delle traslazioni. 51 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Vogliamo calcolare la funzione di partizione per la stringa bosonica, ovvero la Z = Z dgab dx e??SP [x;g]; (2.13) dopo aver fatto la rotazione di Wick dalla metrica ab alla metrica Euclidea gab(1; 2) di segnatura (+; +). L'integrale su tutte le con gurazioni (x; gab) contiene un enorme sovrastima, in quanto con gurazioni collegate tra loro dalla simmetria locale diffWeyl, rappresentano la stessa con gurazione sica. Per evitare ciò dobbiamo dividere per il volume del corrispondente gruppo Z = Z dgabdx VdiffWeyl e??Sp ; (2.14) e utilizzare il metodo di Fadeev-Popov. Nel caso, infatti, in cui l'azione presenti delle simmetrie, esistono modi nulli, e una integrazione su tutte le con gurazioni del campo darebbe 1. Il metodo di Fadeev e Popov ci permette di ssare il gauge, integrando su una curva tale che intersechi ogni classe di equivalenza di gauge una sola volta, come illustrato in Fig.( 2.2). Figura 2.2 Indichiamo con i dieomor smi che danno luogo alle trasformazioni di Weyl della metrica : g ! g; g ab(0) = e2!() @c @0c @d @0b gcd(): (2.15) Possiamo de nire la misura di Fadeev-Popov FP come 1 = FP (g) Z d (g ?? g); (2.16) 52 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA dove d è la misura gauge invariante del gruppo diff Weyl e con la funzione delta abbiamo imposto che gab() = g ab(). Inserendo la (2.16) in (2.14), otteniamo Z = Z d dxdg VdiffWeyl FP (g) (g ?? g) e??SP [x;g] = = Z d dx VdiffWeyl FP (g) e??SP [x0;g]: (2.17) dove abbiamo indicato con x0 le nuove coordinate dopo avere eettuato l'integrazione della delta. Sapendo che FP è gauge invariante FP (g)??1 = Z [d0](g ?? g0 ) = Z [d0](g ?? g??1??0 ) = Z [d00](g ?? g00 ) = FP (g)??1; (2.18) come anche la misura d'integrazione [dx ] e l'azione SP [x0; g], otteniamo Z = Z [ddx] VdiffWeyl FP e??SP [x;g]: (2.19) L'integrando in (2.19) dipende solo da e, quindi, l'integrazione su corrisponde proprio al volume del gruppo. La (2.19) è una somma su tutte le geometrie (Fig.( 2.3)): al termine di ordine g corrisponde il multitoro con g manici (ontopologramma PAnSTRINGA STRINGA già STRINGA CataSTRINGA STRINGrammy STRINGA ResynSTRINGA INTERSTRINGrammA Singolarità STRINGA INTERSTRINGA STRINGABgrammy stringXSTRINGA stringheventy non-essere-STRINGA STRINGrammA STRINGABgrundy non-essere stringXSTRINGA è tachionty stringavuotontySTRINGAspaziotemporale