Thom
Physica Thom ontologia matematica Thom fenoumenaphxyx
È Physics
matemaphxyx gravity gravitàphxyx nullaphxyx Thom lì schemaphxyx
È fenoumenaphxyx “catastrofaphxyx” matemaphxyx matematica della fisica ontologiaphxyx ontologia.
Per lui, Ousia, l'essere, era fenomenologicamente “qual è il
separati “,” tode ti kekhôrismenon “. Nessuna ambiguità per specificare di essere dentro
7 “recenti” sono stati aggiunti con una penna.
8 Qui inizia la pagina che si sovrappone a quella di “Aristotele, Galilea e la nozione di natura”.
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agire! Dal momento che la meccanica quantistica, non sappiamo cosa sia
l'essere fisico. Secondo De Broglie, la particella è entrambe le cose
ticle and wave, una misteriosa associazione semicontraddittoria che il
La metafisica di Stagirite non sarebbe stata certamente permessa. Certamente, in
questo caso, il progresso della matematica – l'equazione di Schrödinger, il
Il formalismo Hilbertiano ci ha permesso di recuperare una certa nozione di
questa entità spettrale ma a costo del diffuso probabilismo del
teoria, e un'evocazione di oggetti particolarmente distanti dal nostro
intuizione degli animali sublunari: come il probabilismo generalizzato -che
affrontare il fenomeno individuale e l'introduzione di oggetti non immediati
Lo spazio di Hilbert e il tempo complesso, la cui interpretazione concreta
una difficoltà. Oggi, in fisica, solo il
equazioni, più o meno difficili da interpretare, e l'idea stessa
un'ontologia per il puro essere fisico sembra, per gli specialisti,
non ha alcun significato: “The Matematica da da se” e l'esperienza non lo è
accessibile solo attraverso misurazioni frequentiste di solito costose e
lunga durata.
Al contrario, il sistema di Aristotele aveva dei vantaggi: il suo
struttura metafisica basata su entità separate (arbitrariamente
o prospettiva) e il potere / atto di distinzione aveva un certo
qualche realtà. Le spiegazioni erano spesso macchiate di verbi
balisme. Ovviamente era necessario prendere in considerazione la chiusura
pegno del sistema aristotelico, manifestato dalla sua distinzione
sence / act: una tendenza alla ripetizione tautologica
spesso, specialmente nei tardi epigoni. La distinzione potere / atto
non è una tautologia, non è Moli` re che ha inventato la virtù
dormitiva di Opium! 10
Abbiamo visto il ruolo essenziale giocato dalla fisica galileiana in
“movimenti fisici. Mi piacerebbe dare un panmatema
La religione di Galileo è una forma più precisa, mantenendo un certo
con la visione aristotelica dell'entità. Il problema centrale, abbiamo
visto, è quello della “fusione” di due equazioni, due “curve”, in una
curva singola. A quel tempo, ci siamo limitati alle identificazioni di
9 “sensibile”.
10 Qui finisce la sovrapposizione.
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lynômes. Una curva empirica con due pezzi riempiti
ciascuna di una corretta equazione richiedeva la sintesi di una curva in più
entrambi contenenti entrambi, un problema matematico
non sembra ovvio (tranne nel caso di identità preesistenti
tra le curve date). Questo problema è stato risolto solo da
un salto di oltre due secoli, con l'arrivo di numeri complessi e
della struttura analitica, in particolare dall'estensione analitica
quella “(” continuazione analitica “) che offriva questo problema di sintesi
una soluzione quasi “pronta”. Grazie a Eulero, Cauchy, Riemann,
potremmo risolvere questo problema dell'esistenza di un sistema canonico
di equazioni per un determinato “oggetto” analitico. Ma abbiamo dovuto aspettare
la fine del diciannovesimo secolo in modo tale che abbiamo questa teoria analitica a
design sufficientemente preciso (H. Weyl, Die Idee der Riemannschen
Fläche), a sua volta dipendente da nuove teorie
logicamente, con l'idea di varietà complessa (o reale). Lo strumento essenziale era
lo sviluppo della geometria algebrica o analitica e il
definizione del set analitico (su C o R), circa 1930 Io pro-
Porrei che l'essere fisico (nella forma più generale) sia rappresentato
da un “seme” di set analitico, e quindi qualsiasi interazione
tra questi esseri è rappresentato da un incrocio di
germi di semi rappresentativi. Con questo in mente, non ci sarebbe più
legge specifica per l'uno o l'altro essere fisico, ce ne sarebbe solo uno
solo la legge “fisica”, cioè l'estensione analitica: “analitica
continuazione”.
Questo modo di vedere, se unifica tutte le leggi fisiche in una sola
Il principio matematico presenta tuttavia alcune difficoltà.
L'involucro olomorfo di un seme di funzione (o applicazione)
sui complessi, se è formato dall'estensione analitica, non lo è
generale non compatto. È chiaro che sarà necessario limitare il germe
da sezioni piatte appropriate. Come giustificare la loro scelta? di
anche l'interazione di un essere fisico con un altro sistema, come
uno strumento di misura, può essere considerato come la proiezione
di un set analitico in un altro spazio affine C e l'interazione
zione di un essere fisico φ 1 con un altro oggetto analitico φ 2 come
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l'intersezione 11 (analitica) dei due semi (φ 1 , φ 2 ).
Vedremo che l'ipotesi così formulata sul comportamento
è necessariamente analitico essere matematico di origine fisica
conseguenze importanti per quanto riguarda il carattere naturale del
phénom`enes. Sappiamo, in matematica, che l'analitico e
i loro morfismi (analitici) sono soggetti a vincoli importanti
dal punto di vista della loro topologia. Ricordiamo innanzitutto il caso di
varietà algebriche reali. L'esempio della parabola y = x 2 , che su
l'asse Oy è proiettato lungo il set: il mezzo asse y ≥ 0 che non lo è
non algebrico, 12 mostra che è necessario completare gli oggetti algebrici
da oggetti più generali, semi-algebrici, se vogliamo
l'immagine di una proiezione è semi-algebrica 13 generalizzata. Da lì
ensemble semi-algebrico, una nozione giustificata dal teorema di
Tarski-Seidenberg: “Qualsiasi proiezione euclidea di un semi-algebrico
è semi-algebrico “. Di conseguenza, gli spazi semi-algebrici sono
componenti inevitabili in ogni teoria per caratterizzare “to-
pologicamente “gli spazi e i morfismi semi-algebrici o
semi-analitica. 14
In questa ricerca mirata a caratterizzare la struttura (1) di
passi, troviamo in Aristotele un termine misterioso:
tonico, una parola che in questo autore è praticamente un “hapax” (2
Penso). Un amico ellenista mi ha spiegato quell'architettura
mira a descrivere la fase terminale di una costruzione – cioè, di solito -
la costruzione del tetto. 15 La casa, come l'organismo biologico
contiene parti (μερη), ma l'associazione delle parti in
vista della costruzione di tutto richiede precauzioni, restrizioni
zioni. Forse è necessario vedere in architectonics l'enumerazione di
vincoli da imporre a un insieme di parti per fare un tutto
funzionale. In questo caso la descrizione di tutte le parti sarebbe a
che dovrebbe essere completato da tutti i vincoli
11 Thom scrive “interazione” nel manoscritto.
12 “analitico”.
13 “semi-analitico”.
14 “algebrico o analitico”.
15 Qui, sul lato destro del manoscritto, una linea con la matita. Sopra una freccia in alto: “Corretto”. Sotto una freccia
in basso: “NON CORRETTO DA RT”.
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segui per ottenere un set funzionale. Questa sarebbe la definizione di
il “architettonico”? In Biologia, Aristotele ha due definizioni di
Tomie: o una descrizione puramente “fenomenologica”, dove uno
caratterizza tutte le “parti” dello spazio organico in modo significativo
stessa apparenza locale sotto ogni aspetto (homeomers), o siamo interessati
a parti che hanno un'affinità funzionale (gli anometri). DEVONO CRANICI
vede nell'architettura la disciplina che sarebbe il passaggio del
prima descrizione al secondo? Nella descrizione degli spazi
definito dalla matematica, incontriamo le stesse difficoltà teoriche
c; o siamo interessati principalmente a proprietà locali o, al contrario,
stiamo cercando proprietà globali. Un certo debole per
sono favorite le proprietà globali (geometria, gruppi di isomorfismi)
proprietà globali. Per gusto personale, mi interessava di più
piuttosto le proprietà locali dei set algebrici (le “singolarità”)
di proprietà globali (incluse strutture e geometrie).
Ad ogni modo, “l'architettonico” è stato riportato alla moda da Leibniz
in un senso piuttosto misterioso. Ma rimaneva un teorema che diceva
in generale, per qualsiasi mappatura algebrica F (X) → Y, si può
definire su “scomposizioni” X e Y in strati semi-algebrici,
tale che la restrizione di F `abbia uno strato X α di X, una fibrazione
sull'immagine Y α , dove l'insieme di Y α è una “stratificazione” di Y. uno
Dice che quindi l'applicazione F è stratificata. Gli strati sono (sotto) -
varietà semi-algebriche per la struttura semi-algebrica ambientale.
Nella struttura complessa, su C, abbiamo un teorema simile: c'è
stratificazioni della sorgente X e obiettivo Y, in cui l'immagine di uno strato
X α di X è uno strato Y β di Y. In una situazione generale, tuttavia,
Applicazione uniforme F: X in Y ha una struttura stratificata nel seguente senso:
ci sono stratificazioni X α , X Y Y β tali che F si decompone
in una riunione di applicazione locale Φ α : X α → Y β (α) , dove Φ α è a
applicazione di fibre.
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Struttura di applicazioni lisce o analitiche: natura o Na
Tures?
I. Il teorema di Arthur Sard. Sia F: X → Y [l'applicazione] sia a
varietà X in una varietà Y. Assumiamo qui varietà lisce (alcune
tempi analitici su C o R). X è la fonte di varietà, dimensione n, Y
è la dimensione dell'obiettivo varietà del morfismo F, C
∞
.
Se x è questo punto di X, y = F (x) la sua immagine in Y, chiamiamo rank
di F in x Sup dei ranghi di minori estratti dalla matrice jacobiana
F: T x (X) → T y (Y) (T x (X), spazio [tangente 'a X] in x)
Se ρ è il rango, i numeri n – ρ, p – ρ sono i corang di F in x;
n – ρ corang alla fonte, p – ρ è il corang all'obiettivo.
Un caso particolare di morfismo F è quello in cui, per ogni punto x 1
in X, il grado di F (x 1 ) = rango della matrice di derivate parziali
∂F (x 1 , y 1 ) è |
|
|
|
Jy j
Ix i
|
|
|
|
, è uguale al suo valore massimo per n ≥ p.
Un'applicazione liscia Φ di una varietà M n su un obiettivo di varietà Y p di
la dimensione p è detta essere un'immersione se in qualsiasi punto x il grado di j F
di F [è] uguale alla dimensione p dello spazio obiettivo.
La sommersione è un caso speciale importante. Se X, Y sono
compatto, e se F: X → Y è un'immersione, allora X è in bundle
su Y; esiste intorno a ogni punto y ∈ Y dell'obiettivo un quartiere V y
di tale [che] F
-1
(V y ) ha una struttura di prodotto V y × Φ, dove Φ è
l'immagine contraria (compatta) di y. In questo caso, tutte le contro-immagini
F
-1
(y) sono diffeomorfici, fibrano la contro-immagine di tutti
nuotare V da qualsiasi punto y di Y. In altre parole, c'è un quartiere W y di
y in Y come contro-immagine F
-1
(W y ) è un prodotto topologico
della forma Φ × F
-1
(Y). In altre parole, tutte le contro-immagini F
-1
(Y)
sono diffeomorfici, e per W abbastanza piccoli, F
-1
(W) ha una struttura di
prodotto topologico. In particolare, tutte le contro-immagini F
-1
(Y)
sono diffeomorfi, l'insieme ha una struttura di prodotto topologica
Base × Fibra e l'applicazione Φ invia il prodotto Base × Fibra al
In particolare, ci sono due fibre di Base × Fibra
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diffeomorphic. Questa struttura del prodotto si applica a tutti i punti di
spazio-obiettivo Y tale che F
-1
(y) essere compatto. Se ad esempio l'applicazione
F: X → Y è suriettiva, X, Y compatta, quindi qualsiasi x di X
ha un [vicinato] U, come su F
-1
(F (x)) abbiamo un prodotto U × F
-1
(Y).
Di conseguenza, tutte le fibre di contro-immagine sono diffeomorfiche:
ha una struttura spaziale in fibra in cui tutte le fibre sono diffeomorfe.
(Ciò non implica che lo spazio totale abbia una struttura di prodotto.
Counter-esempio: il nastro di Möbius non è l'anello piatto,
anello circolare.)
Quando fibra F
-1
(y) è discreto, diciamo che l'applicazione F è
un rivestimento L'anello di Möbius è l'esempio più semplice di
rivestimento non banale del cerchio.
Se in un'applicazione F: X → Y liscia di classe C p tutti
Fibre F
-1
(y) sono compatti, quindi X è lo spazio in fibra di fibra su Y
F
-1
(y), y arbitrario. Abbiamo qui assunto la nozione di varietà liscia
classe C p (a volte continuamente differenziabile). Il quadro qui considerato
è dove gli spazi sono varietà lisce di classe C p , p> 2. Acceso
li assumerà anche compatti, correlati (2 punti possono essere allegati
da un percorso incluso nella varietà).
Un teorema importante: A. Sard.
Sia F una mappa uniforme (C p , p> 2) di X n in Y p . Lo diciamo
il punto x di X è un punto singolare di F se il grado dell'applicazione F in
un punto x della sorgente è inferiore al suo valore massimo possibile. se
n ≥ p, il rango di F in un punto singolare ξ della sorgente è minore di ap
rigorosamente. Ricorda che il grado di F in ξ è il massimo possibile
per una minore della tabella dei derivati parziali |
|
|
|
Jy j
Ix i
|
|
|
|
. Tale punto
è un punto singolare della mappa F, la sua immagine y j = F (x i ) è sua
valore singolare.
La determinazione per un morfismo F dell'insieme σ dei suoi punti
singolare e dell'immagine F (σ) dei suoi valori singolari fornisce a
una sorta di scheletro della topologia del morfismo. Dobbiamo sforzarci di
caratterizza i set σ e F (σ) dei punti singolari e i loro
12
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valori singolari. 16
Natura o Natura.
I dati dei punti singolari e dei valori singolari sono sufficienti per
per caratterizzare la topologia del morfismo, in molti casi. In effeti,
se α, β sono due punti dell'obiettivo che sono valori non singolari di
morfismo F, se questi punti sono nella stessa componente connessa del
obiettivo del morfismo e al di fuori dell'insieme F (ε) del peccato
guli`eres, quindi contro-immagini F
-1
(Α), F
-1
(β) sono diffeomorfi e
può essere unito da un morfismo h dello spazio sorgente X, immagine
reciproco di F di un diffeomorfismo [nello] scopo che è [trasforma]
in un diffeomorfismo della sorgente X. (Questa è una diffeotopia trans-latente
formando F
-1
(α) in F
-1
(β).) Fuori dai valori critici F (ε)
contro-immagine è ben determinata, così come il tipo topologico di mortalità.
morfismo. Questo è il principio della situazione che chiameremo “generico”,
un qualificatore che è stato usato frequentemente in matematica. da
esempio, se un'equazione F (x, λ) dipende algebricamente dal parametro
λ, ci sarà spesso un denso aperto ovunque nello spazio di (o)
Parametri (λ) tali che 2 punti δ 1 , δ 2 di questo aperto danno spazi
soluzioni dello stesso tipo topologicaxiomaphxyx esserci Thom