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stringheventy stringramma Spaziogramma Spaziosuperstringheventy» superstringheventy dello spaziotempo. Oltre le stringhe: Metastringramma quarkatagrammy). ....superstringheventy c'è superstringheventi superstringhe delle stringhe, – dalla diradanza delle stringhe stringheventy«curvarsi»dello spazio-tempogravity eventi crea curvature dello spazio delle stringhe spaziali; stringhe: arrotolate delle stringhe... stringhe già quarkatagrammy del Finnegan's Wake di Joyce lì C'è, i fanatici del bungee jumping si buttano dai ponti, i magneti tengono un treno in levitazione sulle rotaie, i contatori Geiger scattano in presenza di radiazioni, le bombe nucleari esplodono. Possiamo esercitare la nostra influenza sugli oggetti spingendoli, tirandoli, scuotendoli, colpendoli con altri oggetti, deformandoli, riscaldandoli, congelandoli o bruciandoli. Nel corso dei secoli i fisici si sono accorti che tutte queste interazioni, e milioni di altre che incontriamo ogni giorno, si possono ridurre a una combinazione di quattro forze fondamentali: la forza gravitazionale, quella elettromagnetica e le forze nucleari debole e forte. La gravità è la piú familiare delle quattro: ci tiene in orbita attorno al Sole e ci lascia con i piedi ben piantati per terra. La massa di un oggetto misura la quantità di forza gravitazionale che esso può esercitare o subire. L'elettromagnetismo ci è anche familiare: manda avanti tutte le comodità della vita moderna – lampade, computer, televisori, telefoni – ed è alla base della potenza selvaggia dei fulmini, cosí come del tocco delicato di una mano. La carica elettrica svolge lo stesso ruolo che ha la massa per la gravità e determina l'intensità della forza elettromagnetica che un corpo può sentire o esercitare. La forza forte e quella debole sono molto meno familiari, perché la loro azione si esercita solo a scala subatomica; questo è anche il motivo per cui sono state scoperte molto piú recentemente. La forza forte tiene i quark incollati tra di loro dentro a protoni e neutroni, e tiene questi ultimi dentro ai nuclei. La forza debole è responsabile del decadimento radioattivo di sostanze come l'uranio e il cobalto. Negli ultimi cento anni sono state scoperte due caratteristiche comuni a tutte le forze. In primo luogo, come vedremo nel capitolo V, a livello microscopico sono tutte associate a particelle che possono essere viste come il piú piccolo « pacchetto » esistente di forza. Se usate un raggio laser, state sparando un flusso di fotoni, i piú piccoli portatori della forza elettromagnetica. Allo stesso modo, i costituenti minimi delle forze nucleari sono i bosoni di gauge deboli e i gluoni (quest'ultimo è un nome particolarmente appropriato: glue vuol dire «colla» in inglese, e i gluoni sono la colla che tiene insieme i nuclei). L'esistenza e le proprietà di queste tre specie di particelle (vedi tabella 1.2) sono state dimostrate prima del 1984. Secondo i fisici, anche la gravità possiede una particella associata, il gravitone, la cui esistenza non è ancora stata confermata sperimentalmente. La seconda caratteristica comune a tutte le forze è la possibilità di misurare una «carica»: cosí come la massa determina l'influenza della gravità su un corpo e la carica elettrica fa lo stesso per l'elettromagnetismo, esistono una « carica forte » e una « carica debole » che misurano gli effetti di queste forze sulle particelle. Ma anche se gli scienziati hanno misurato sperimentalmente con accuratezza queste proprietà, nessuno sa spiegare perché l'universo sia composto di queste particolari particelle, con queste masse e cariche stabilite. 1 Queste tre tabelle sono un'elaborazione della tabella 1. 1. In esse sono registrate masse e cariche delle particelle comprese nelle tre famiglie. Ogni quark può presentarsi con tre cariche forti, ognuna etichettata con un colore – che rappresenta in realtà un valore numerico di carica forte. Le cariche deboli qui fornite sono, piú precisamente, la «terza componente» dell'isospin debole (non abbiamo fornito le componenti «destrorse» delle particelle, che non hanno carica debole). Famiglia 1 Particella Massa Carica elettrica Carica debole Carica forte Elettrone 0,00054 -1 -½ 0 Neutrino elettronico <10-8 0 ½ 0 Quark up 0,0047 2/3 ½ rosso, verde, blu Quark down 0,0074 -1/3 -½ rosso, verde, blu Famiglia 2 Particella Massa Carica elettrica Carica debole Carica forte Muone 0,11 -1 -½ 0 Neutrino muonico < 0,0003 0 ½ 0 Quark charm 1,6 2/3 ½ rosso, verde, blu Quark strange 0,16 -1/3 -½ rosso, verde, blu Famiglia 3 Particella Massa Carica elettrica Carica debole Carica forte Tau 1,9 -1 -½ 0 Neutrino tau < 0,033 0 ½ 0 Quark top 189 2/3 ½ rosso, verde, blu Quark bottom 5,2 -1/3 -½ rosso, verde, blu Nonostante le loro caratteristiche comuni, le forze fondamentali spingono a porre altre domande. Perché ' ad esempio, sono quattro e non cinque o tre o una sola? Perché hanno proprietà cosí diverse? Perché la forza debole e quella forte operano a scala microscopica, mentre la gravità e l'elettromagnetismo hanno un raggio d'azione infinito? E perché ci sono differenze cosí enormi nella loro intensità intrinseca? Per capire meglio l'ultima domanda, immaginate di tenere un elettrone nella mano sinistra e uno nella destra. Ora provate ad avvicinarli: la loro attrazione gravitazionale sarà contrastata dalla repulsione elettromagnetica. Chi vince? Non c'è storia: la repulsione elettromagnetica è circa un milione di miliardi di miliardi di miliardi di miliardi (1042) di volte piú forte. Se il vostro bicipite sinistro rappresentasse la forza gravitazionale e il destro quella elettromagnetica, quest'ultimo dovrebbe essere piú grande dell'universo conosciuto. L'unica ragione per cui gli effetti della gravità non vengono annullati nel mondo quotidiano è data dal fatto che gran parte degli oggetti sono composti da un egual numero di cariche positive e negative, che quindi si cancellano. D'altro canto, essendo la gravità sempre attrattiva, non c'è un effetto di cancellazione delle masse: piú massa significa piú forza gravitazionale. Ma, fondamentalmente, la gravità è una forza debolissima (il che spiega le difficoltà sperimentali che si incontrano nello stabilire l'esistenza del gravitone: cercare il pacchetto piú piccolo della forza piú debole è davvero una sfida). Gli esperimenti hanno anche mostrato che la forza forte è pari a circa 100 volte quella elettromagnetica e 100.000 volte quella debole. Ma per quale ragione l'universo dovrebbe essere fatto a questo modo? Tabella 1.2. Le quattro forze della natura, le particelle ad esse associate e le rispettive masse (in multipli della massa protonica). Le particelle della forza debole si presentano con due masse possibili. Gli studi teorici mostrano che il gravitone dovrebbe avere massa nulla. Forza Particella mediatrice associata Massa Forte Gluone 0 Elettromagnetica Fotone 0 Debole Bosoni di gauge deboli 86/97 Gravità (Gravitone) (0) Non è una domanda oziosa e filosofica sul perché certi dettagli sono fatti in un certo modo e non in un altro: l'universo sarebbe un luogo radicalmente diverso se le proprietà delle forze e della materia cambiassero anche di poco. Ad esempio, l'esistenza dei nuclei stabili che formano il centinaio di elementi della tavola periodica dipende in modo assai delicato dal rapporto fra l'intensità della forza forte e di quella elettromagnetica. I protoni impaccati nel nucleo, avendo tutti carica elettrica positiva, si respingono, ma la forza forte che agisce tra i loro quark, per fortuna, vince la repulsione e lega i protoni strettamente. Basterebbe un piccolo cambiamento nei rapporti tra le forze per alterare gli equilibri e per far disintegrare gran parte dei nuclei. Inoltre, se gli elettroni fossero un po' piú pesanti, si combinerebbero con i protoni a formare neutroni, ingoiando i nuclei di idrogeno (l'elemento piú semplice dell'universo, il cui nucleo è fatto di un solo protone) e impedendo la produzione di atomi piú complessi. In un contesto del genere le stelle, che si alimentano grazie alla fusione di nuclei stabili, non si formerebbero neppure. Anche l'intensità della gravitazione ha un ruolo importante. Le densità altissime raggiunte nel nucleo delle stelle rendono possibile la fusione nucleare; se la gravità fosse piú forte, i nuclei stellari sarebbero piú densi e l'attività nucleare delle stelle piú intensa. Ma cosí come un fuoco d'artificio esaurisce la sua luce prima di una candela a combustione lenta, una simile situazione farebbe bruciare le stelle come il Sole molto piú velocemente, il che avrebbe effetti letali sulla formazione della vita come la conosciamo. D'altra parte, se la gravità fosse molto piú debole la materia non si addenserebbe affatto, e quindi non si formerebbero le stelle e le galassie. Potremmo continuare a lungo. L'idea di fondo è chiara: l'universo è fatto come lo vediamo perché le particelle costituenti la materia e le forze hanno le proprietà che sappiamo. Ma perché sono proprio queste? I Esiste una spiegazione scientifica? 4. L'idea di base della teoria delle stringhe La teoria delle stringhe offre un paradigma concettuale forte, all'interno del quale, per la prima volta, esiste una via per rispondere a queste domande. Vediamo prima l'idea di fondo. Le particelle della tabella 1.1. sono le «lettere » della materia. Proprio come le loro controparti alfabetiche, non sembrano essere scomponibili in ulteriori strutture interne. La teoria delle stringhe afferma il contrario: se potessimo esaminarle con maggiore dettaglio – un dettaglio di molti ordini di grandezza superiore alle nostre attuali capacità tecniche – troveremmo che le particelle non sono puntiformi, ma consistono di un minuscolo anello unidimensionale. Ogni particella contiene un filamento che danza, vibra, oscilla come un elastico infinitamente sottile; i fisici moderni, privi del gusto letterario di Gell-Mann, lo hanno chiamato stringa (o corda; in inglese è string). Nella figura 1.1. è mostrato il principio di base della teoria, partendo da un pezzo di materia ordinaria (una mela) e ingrandendo la sua struttura a varie scale. La teoria delle stringhe aggiunge un nuovo livello microscopico (quello della stringa) alla vecchia progressione atomo – costituenti atomici – quark. 2 Le stringhe possono anche avere entrambi gli estremi liberi (stringhe aperte), oltre a presentarsi in forma di cappi, come nella figura 1. 1. Per semplificare il discorso parleremo quasi sempre di stringhe chiuse, anche se gran parte di ciò che diremo si applica a entrambi i tipi. Anche se non sembra affatto ovvio, vedremo nel capitolo vi che rimpiazzare una particella puntiforme con una stringa risolve il conflitto tra meccanica quantistica e relatività generale. La teoria delle stringhe, dunque, scioglie il nodo gordiano della fisica teorica contemporanea. E un risultato straordinario, ma non è che uno dei motivi per cui la nuova teoria ha causato tanto interesse. Figura 1.1 La materia è composta di atomi, che a loro volta sono fatti di quark ed elettroni. Secondo la teoria delle stringhe, tutte queste particelle sono in realtà microscopiche stringhe chiuse ad anello e in vibrazione. 5. La teoria delle stringhe come Teoria del Tutto Ai suoi tempi la forza forte e quella debole non erano ancora note, ma Einstein era già abbastanza turbato del fatto che esistessero due forze diverse (gravità ed elettromagnetismo): non poteva accettare che la natura fosse basata su un progetto cosí stravagante. Cosí si imbarcò nella sua ricerca trentennale di una cosiddetta teoria unificata di campo, teoria che avrebbe dovuto mostrare che queste due forze sono in realtà manifestazioni di un unico principio sottostante. Questa ricerca ossessiva lo isolò dal filone principale della ricerca, allora molto piú interessato (comprensibilmente) a esplorare la nascente meccanica quantistica. Scriveva a un amico nel 1942: «Sono diventato un vecchio solitario famoso soprattutto perché non porta le calze, che viene esibito come un fenomeno nelle occasioni speciali». 3 Da una lettera di Albert Einstein del 1942, citata in Tony Hey e Patrick Walters, Einstein's Mirror, Cambridge University Press, Cambridge 1997 Einstein era semplicemente troppo avanti sui tempi. Piú di mezzo secolo dopo, la teoria unificata è diventata il Sacro Graal della fisica moderna. E una consistente parte della comunità dei fisici e dei matematici è convinta sempre più che la teoria delle stringhe possa essere la soluzione. A partire da un unico principio (gli oggetti sono formati a livello microscopico da combinazioni di stringhe oscillanti), la teoria fornisce un quadro esplicativo che comprende tutte le forze e tutta la materia. Secondo la teoria delle stringhe, ad esempio, le proprietà osservate delle particelle viste nelle tabelle 1. 1 e 1. 2 non sono che un riflesso dei vari modi in cui una stringa può vibrare. E' proprio come per le corde di un violino o di un pianoforte, che vibrano con frequenze caratteristiche in modi che il nostro orecchio percepisce come le note fondamentali e le rispettive armoniche superiori; le vibrazioni delle stringhe della teoria non si manifestano come note musicali, ma come particelle, la cui massa e carica sono determinate dalle oscillazioni della stringa stessa: l'elettrone è una stringa che vibra in un certo modo, il quark up in un altro, e cosí via. Le proprietà delle particelle, dunque, non sono una caotica massa di dati sperimentali, ma conseguenze di un unico principio fisico: sono la musica, per cosí dire, suonata dalle stringhe fondamentali. La stessa idea si applica alle forze; vedremo infatti che ogni particella mediatrice di forza è associata a un particolare modo di vibrazione. Quindi tutte le forze e tutta la materia sono unificate sotto la voce «Oscillazioni di stringhe»: sono le note che le stringhe suonano. Per la prima volta nella storia della fisica possediamo un'idea di fondo in grado di spiegare tutte le caratteristiche fondamentali alla base dello schema costruttivo dell'universo. Per questo motivo molti pensano alla teoria delle stringhe come candidata al ruolo di «Teoria del Tutto» (una TOE, come la chiamano gli anglosassoni, acronimo di Theory of Everything), nome un po' pomposo per una teoria di massimo livello di profondità, capace di comprendere tutte le altre, senza che ci sia bisogno di ulteriori spiegazioni. Nella pratica, chi si occupa di teoria delle stringhe ha i piedi piú per terra e pensa alla sua teoria come a un oggetto capace di descrivere tutte le proprietà delle particelle fondamentali e delle loro interazioni. Un riduzionista rigoroso potrebbe dire che non c'è nessuna differenza: in linea di principio, tutto, dal big bang ai sogni, può essere descritto in termini di processi microscopici di tipo fisico che interessano i costituenti fondamentali della materia. Sapere tutto sulle particelle di base vuol dire sapere anche tutto il resto. Poche cose sono in grado di scaldare gli animi quanto il riduzionismo. C'è chi trova presuntuoso, quando non ripugnante, sostenere che le meraviglie del cosmo siano meri riflessi dei comportamenti di un pugno di particelle che danzano secondo la vacua coreografia delle leggi fisiche. Ma davvero la gioia, il dolore o la noia non sono che processi chimici interni al cervello, reazioni tra atomi e molecole, e quindi tra particelle come quelle della tabella 1.1, che in realtà sono solo stringhe che vibrano? Il premio Nobel Steven Weinberg risponde cosí a queste critiche: All'altro capo ci sono gli avversari del riduzionismo, che sono indignati da quella che a loro sembra la tristezza della scienza moderna. Si sentono sminuiti dal fatto che il loro mondo può essere ridotto a questioni di particelle e di interazioni [ ... ] Non mi sembra il caso di rispondere a queste critiche con un discorsetto edificante sulle meraviglie della scienza moderna. La visione del mondo di un riduzionista è davvero fredda e impersonale: deve essere accettata cosí com'è, non perché ci piace, ma perché cosí funzionano le cose. 4 Steven Weinberg, Dreams of a Final Theory, Pantheon, New York 1993, P. 52 [trad. it. Il sogno dell'unità dell'universo, Mondadori, Milano 1993, P. 57 e sgg C'è chi è d'accordo con queste affermazioni forti, e chi no. Secondo altri studiosi, teorie come quella del caos ci mostrano che al crescere della complessità di un sistema entrano in gioco altri tipi di leggi: conoscere il comportamento di un elettrone o di un quark è un conto, applicare questa conoscenza per prevedere il tragitto di un tornado è un altro. Su questo punto molti concordano. Ma le opinioni divergono quando si tratta di stabilire se i fenomeni inattesi che avvengono al crescere della complessità siano manifestazioni di vere e proprie nuove leggi fisiche, o se si tratti di conseguenze – anche se terribilmente complicate da dimostrare -delle leggi che governano le singole, moltissime particelle elementari. Ho l'impressione che quest'ultima ipotesi sia giusta. Il fatto che sia impossibile spiegare le proprietà di un tornado in termini di elettroni e quark, mi sembra piú un problema computazionale che un segnale della presenza di nuove leggi fisiche. Ma, ripeto, non tutti sono d'accordo. Ciò che non deve essere messo in discussione anche dai piú incalliti riduzionisti (e questo è di importanza fondamentale nel prosieguo del libro) è che i principi sono una cosa e la pratica un'altra. Tutti (o quasi) sono d'accordo nell'affermare che la scoperta di una TOE non significherebbe la fine della psicologia, della biologia, della geologia, della chimica o persino della fisica. L'universo è troppo complesso per far si che una sola teoria, seppur «definitiva» nel senso in cui la intendiamo qui, possa far suonare a morto la campana della scienza. Al contrario: una TOE sarebbe il solido fondamento su cui costruire la nostra comprensione del inondo, e la sua scoperta segnerebbe un inizio, non una fine. La «teoria ultima » sarebbe un indistruttibile baluardo di coerenza che ci rassicurerebbe per sempre sulla penetrabilità dei misteri dell'universo. 6. Lo stato della teoria delle stringhe. Scopo principale di questo libro è spiegare il funzionamento dell'universo secondo la teoria delle stringhe, con un'attenzione particolare Alle conseguenze di questa nuova idea sulle nostre concezioni di spazio e tempo. Al contrario di quanto normalmente accade per i saggi divulgativi, qui non parleremo di una teoria completamente definita, con solide conferme sperimentali e largamente accettata dalla comunità scientifica. Come vedremo nei prossimi capitoli, la teoria delle stringhe è una costruzione cosí originale e sofisticata che il lavoro da fare per considerarla compiuta è ancora molto, nonostante i progressi impressionanti degli ultimi anni. La nostra teoria è dunque un'opera in fieri, la cui struttura di base ha già svelato sorprendenti scorci sulla natura di spazio, tempo e materia. L'unione armoniosa della relatività generale e della meccanica quantistica è un grande successo. La capacità di rispondere a certe domande basilari sui costituenti fondamentali di forza e materia è un risultato mai raggiunto prima. Altrettanto importante, anche se piú difficile da apprezzare, è la grande eleganza della teoria: molti aspetti dell'universo che sembrano arbitrari dettagli tecnici – come il numero e le proprietà delle particelle fondamentali – diventano conseguenze di caratteristiche tangibili della geometria del cosmo. Se la teoria delle stringhe è giusta, la trama microscopica dell'universo è un intricato labirinto a piú dimensioni in cui le stringhe vibrano senza posa, «dando il ritmo» stringhe si è delle stringhe « è dà stringhe stringhe? M-

STRINGABGRÜNDy InPhynyTESIMy È si È Ildegarda di Bingen che, quanto a visioni metafisiche e a prospettive sull’infinito, ci dà del filo da torcere ancora oggi.

L’obiezione che la mistica Suso, Tauler o Eckhart. E dire che in gran parte la mistica femminile dava maggior risalto al corpo che non alle idee astratte sarebbe come dire che dai manuali di filosofia deve scomparire, che so, Merleau-Ponty.

Le femministe hanno da tempo eletto a loro eroina Ipazia che, ad Alessandria, nel quinto secolo, era maestra di filosofia platonica e di alta matematica. Ipazia è diventata un simbolo, ma purtroppo delle sue opere è rimasta solo la leggenda, perché sono andate perdute, e perduta è andata lei, fatta letteralmente a pezzi da una turba di cristiani inferociti, secondo alcuni storici sobillati dal quel Cirillo di Alessandria che, anche se non per questo, è stato poi fatto santo.

Ma c’era solo Ipazia?

Meno di un mese fa è stato pubblicato in Francia (da Arléa) un librettino, ’Histoire des femmes philosophes’. Se ci si chiede chi sia l’autore, Gilles Ménage, si scopre che viveva nel diciassettesimo secolo, era un latinista precettore di Madame de Sévigné e di Madame de Lafayette e il suo libro, apparso nel 1690, s’intitolava ’Mulierum philosopharum historia’.

Altro che la sola Ipazia: anche se dedicato principalmente all’età classica, il libro di Ménage ci presenta una serie di figure appassionanti, Diotima la socratica, Arete la cirenaica, Nicarete la megarica, Iparchia la cinica, Teodora la peripatetica (nel senso filosofico del termine), Leonzia l’epicurea, Temistoclea la pitagorica, e Ménage, sfogliando i testi antichi e le opere dei padri della chiesa, ne aveva trovate citate ben sessantacinque, anche se aveva inteso l’idea di filosofia in senso abbastanza lato. Se si calcola che nella società greca la donna era confinata tra le mura domestiche, che i filosofi piuttosto che con fanciulle preferivano intrattenersi coi giovinetti, e che per godere di pubblica notorietà la donna doveva essere una cortigiana, si capisce lo sforzo che debbono avere fatto queste pensatrici per potersi affermare. D’altra parte, come cortigiana, per quanto di qualità, viene ancora ricordata Aspasia, dimenticando che era versata in retorica e filosofia, e che (teste Plutarco) Socrate la frequentava con interesse.

Sono andato a sfogliare almeno tre enciclopedie filosofiche odierne e di questi nomi (tranne Ipazia) non ho trovato traccia. Non è che non siano esistite donne che filosofassero. È che i filosofi hanno preferito dimenticarle, magari dopo essersi appropriati delle loro idee.

  • “Bustina di Minerva” – L’espresso, 2004

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CREATIVITA’ . —– ’Histoire des femmes philosophes’: “Storia delle donne filosofe” (di Alessandra Pigliaru) 19 agosto 2016, di Federico La Sala

“Storia delle donne filosofe”

di Alessandra Pigliaru *

Ragionatrice sottile e maestra d’eloquenza, sono alcune delle espressioni che si ritrovano nel Menesseno di Platone e nel quarto libro degli Stromati di Clemente Alessandrino riferibili ad Aspasia di Mileto che insegnò retorica a Pericle e filosofia a Socrate.

Ciò nonostante, simili appellativi venivano assai raramente utilizzati per il suo sesso; così segnala Gilles Ménage in un libro piccolo quanto fondamentale dal titolo Mulierum philosopharum historia, scritto in prima istanza nel 1690 e ampliato due anni dopo.

Arrivato in Italia solo 11 anni fa grazie alla traduzione e cura di Alessia Parolotto per le edizioni ombre corte, Storia delle donne filosofe (pp. 115, euro 9) viene ora rieditato per essere letto, studiato e sgranato con curiosità.

L’introduzione di Chiara Zamboni colloca acutamente la figura di Ménage, l’abate francese che oltre a essere stato un grande latinista e grammatico fu precettore di madame de Sévigné e madame de Lafayette.

Le sue relazioni in quegli anni straordinari, dai salotti delle Preziose all’immersione in quella che Benedetta Craveri ha poi chiamato e descritto nel suo La civiltà della conversazione, possono essere lette come il frutto di un’attenzione rara nei confronti di 70 pensatrici dell’antichità classica.

L’esercizio di Ménage, senza precedenti, rimane un isolato e pur tuttavia importante censimento filosofico, esito di una erudizione raffinata e rigorosa che fa avere fiducia sullo stato dei documenti consultati – seppure non tutti di immediato reperimento. Setacciare trattati, lessici, opere filosofiche è servito così a imbastire un ritratto a più voci.

Le fonti di riferimento utilizzate da Ménage sono quasi tutte maschili e, come sottolinea Zamboni nella introduzione, l’insistenza sul legame tra biografia e pensiero era in linea con la tradizione del suo tempo.

Accanto alle più note Ipazia e Diotima, maestre di eccellenza e amore per la sapienza, altre si fanno avanti e vengono per la prima volta suddivise per appartenenza di scuola – là dove se ne possa avere in qualche modo conferma. Di scuola incerta infatti restano ancora tante che vanno a comporre la prima parte del volumetto di Ménage.

Così accanto al nome di Aspasia risuonano quello di Cleobulina, Panfila, Giulia Domna, Eudocia, Novella e altre. E poi Temistoclea (nella Suda – lessico enciclopedico compilato intorno al 1000 – viene chiamata Teoclea), sorella di Pitagora a cui già Diogene Laerzio attribuisce la maggior parte dei precetti morali del più noto filosofo. Insieme alle pitagoriche, che sono anche le più numerose, sono presenti Epicuree, Ciniche, Stoiche, Accademiche, Peripatetiche, Platoniche, Cirenaiche.

E seppure di tutte le filosofe non resti quasi niente in termini di scritti, il lavoro di Gilles Ménage non si riduce a un contributo elenchico criticamente muto; bensì concorre a delineare una fisionomia storico-filosofica che anni dopo verrà decostruita e fatta definitivamente saltare dal femminismo.

*

Alessandra Pigliaru

Sul tema, nel sito, si cfr.:

CREATIVITà. —– ’Histoire des femmes philosophes’. Se ci si chiede chi sia l’autore, Gilles Ménage, si scopre che viveva nel diciassettesimo secolo, era un latinista precettore di Madame de Sévigné e di Madame de Lafayette e il suo libro, apparso nel 1690, s’intitolava ’Mulierum philosopharum historia’ (di Umberto Eco – Filosofare al femminile).

I “TESTICOLI” DELLE DONNE E LA “COGLIONERIA” DEGLI UOMINI OVVERO ANCHE LE DONNE HANNO LE “PALLE”. L’ammissione di Giovanni Valverde, del 1560!!!

DOPO 500 ANNI, PER IL CARDINALE RAVASI LA PRESENZA DELLE SIBILLE NELLA SISTINA E’ ANCORA L’ELEMENTO PIU’ CURIOSO.

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CREATIVITA’: KANT E LA CRITICA DELLA SOCIETA’ DELL’UOMO A “UNA” DIMENSIONE. —– UN’UN’ESCLUSIONE CHE INTERPELLA TUTTI. Donne e ministeri – da segno dei tempi a indice di autenticità (di Lilia Sebastiani) 24 marzo 2012, di Federico La Sala

Donne e ministeri da segno dei tempi a indice di autenticità

di Lilia Sebastiani

in “Viandanti” (www.viandanti.org) del 10 marzo 2012

Nell’enciclica ‘conciliare’ Pacem in terris di Giovanni XXIII (1963) al n.22 l’ingresso crescente delle donne nella vita pubblica veniva annoverato tra i segni dei tempi, insieme alla crescita delle classi lavoratrici (n.21) e alla fine del colonialismo (n.23). Ricordare l’enciclica è doveroso, per il valore storico di questo semplice e cauto riconoscimento: infatti è la prima volta che un documento magisteriale rileva la cosiddetta promozione della donna senza deplorarla – anzi come un fatto positivo. I segni dei tempi sono ancora al centro della nostra attenzione, ma per quanto riguarda le donne la questione cruciale e non ignorabile è ormai quella del loro accesso al ministero nella Chiesa, a tutti i ministeri.

Venerande esclusioni

Certo il problema dei ministeri non è l’unico connesso con lo status della donna nella Chiesa, ma senza dubbio è fondamentale; guardando al futuro, è decisivo. Non solo e non tanto in se stesso, ma per la sua natura di segno. In questo momento nella Chiesa la donna è ancora esclusa dai ministeri ecclesialmente riconosciuti: non solo da quelli ordinati (l’Ordine sacro, cioè, nei suoi tre gradi: episcopato, presbiterato, diaconato) ma anche da quelli istituiti, il lettorato e l’accolitato. Questi ultimi, chiamati un tempo “ordini minori” e considerati solo tappe di passaggio obbligatorie per accedere all’ordinazione, furono reintrodotti nel 1972 da Paolo VI (Ministeria quaedam) come “ministeri istituiti” – per distinguerli da quelli ordinati, mantenendo però l’elemento della stabilità e del riconoscimento ecclesiale – e furono aperti anche a laici non incamminati verso l’Ordine; tuttavia si specificava chiaramente che tali ministeri erano riservati agli uomini, “secondo la veneranda tradizione della chiesa latina”.

Un po’ più recente l’istituzione dei “ministri straordinari dell’Eucaristia”: con prerogative non molto diverse da quelle degli accoliti, questi possono essere anche donne. E di fatto sono più spesso donne che uomini. Un passo avanti, forse? Certo però la dichiarata ‘straordinarietà’ sembra messa lì a ricordare che si tratta di un’eccezione, di una supplenza..., di qualcosa che normalmente non dovrebbe esserci.

A parte i servizi non liturgici ma fondamentali, come la catechesi dei fanciulli, quasi interamente femminile, e le varie attività organizzative e caritative della parrocchia, le letture nella Messa vengono proclamate più spesso da donne che da uomini; ma si tratta sempre e comunque di un ministero di fatto, che in teoria sarebbe da autorizzare caso per caso, anche se poi, di solito, l’autorizzazione viene presunta.

Il Concilio e l’incompiuta apertura

Il problema dell’accesso femminile ai ministeri è diventato di attualità nella Chiesa nell’immediato post-concilio, nel fervore di dibattito che caratterizzò quell’epoca feconda e rimpianta della storia della Chiesa. Il Vaticano II aveva mostrato una notevole apertura sulle questioni che maggiormente sembravano concernere il problema della donna in generale e della donna nella Chiesa in particolare. Sulle questioni più specifiche e sul problema dei ministeri i documenti conciliari erano generici fino alla reticenza, ma senza chiusure di principio. Ciò autorizzava a sperare nel superamento, non proprio immediato ma neppure troppo lontano, di certe innegabili contraddizioni che persistevano sul piano disciplinare. Inoltre altre chiese cristiane avevano cominciato da qualche anno, certo non senza resistenze anche aspre, a riconsiderare e a superare gradualmente il problema dell’esclusione (a nostra conoscenza, la chiesa luterana svedese fu la prima ad ammettere donne al pastorato, nel 1958).

Una chiusura fragile

Nel decennio che seguì il Concilio, il dibattito in proposito fu intenso. La Chiesa ufficiale mantenne però una posizione di cautela e di sostanziale chiusura sempre più netta, che culminò – volendo chiudere la questione una volta per sempre – nella dichiarazione vaticana Inter insigniores, che è della fine del 1976, ma resa pubblica nel 1977.

In questo documento l’esclusione delle donne dal ministero ordinato veniva ribadita con caratteri di definitività vagamente ‘infallibilista’, ma anche con un significativo mutamento di argomentazione, che ci sembra importante poiché dimostra che l’esclusione è un fatto storico-sociologico in divenire e non un fatto teologico-sacramentale.

Non si dice più, come affermava Tommaso d’Aquino, che la donna è per natura inferiore all’uomo e quindi esclusa per volere divino da ogni funzione implicante autorità; si richiama invece l’ininterrotta tradizione della Chiesa (che è evidente, ma è anche evidentissimo portato della storia e delle culture) e soprattutto la maschilità dell’uomo Gesù di Nazaret, da cui deriverebbe la congruenza simbolica della maschilità del prete che, presiedendo l’assemblea, agisce in persona Christi. Quest’ultimo argomento fragile e sconveniente è stato lasciato cadere, infatti, nei pronunciamenti successivi: questi si rifanno solo alla tradizione della Chiesa e a quella che viene indicata come l’esplicita volontà di Gesù manifestata dalla sua prassi.

Anche questo argomento non funziona. Gesù, che non mostra alcun interesse di tipo ‘istituzionale’, alle donne accorda, con naturalezza, una piena parità nel gruppo dei suoi seguaci. Sembra insieme scorretto e pleonastico dire che “non ha ordinato nessuna donna”, dal momento che, semplicemente, non ha ordinato nessuno. Non vi è sacerdozio nella sua comunità, ma servizio e testimonianza, diakonìa non formalizzata – eppure rispondente a una chiamata precisa – che, prima di essere attività, è opzione fondamentale, stile di vita, sull’esempio di Gesù stesso “venuto per servire”.

Nel Nuovo Testamento di sacerdozio si può parlare solo in riferimento al sacerdozio universale dei fedeli (cfr 1 Pt 2,9; Ap 1,6), negli ultimi decenni tanto rispettato a parole quanto sfuggente e ininfluente nel concreto del vissuto ecclesiale; oppure in riferimento all’unico sacerdote della Nuova Alleanza – sacerdote nel senso di mediatore fra Dio e gli esseri umani –, Gesù di Nazaret (cfr Ebr 9), il quale nella società religiosa era un laico, oltretutto in rapporti abbastanza conflittuali con il sacerdozio del suo tempo.

Un’esclusione che interpella tutti

Vi sono due fatti, molto modesti ma significativi, che aiutano a tenere viva la speranza. Il primo, che i pronunciamenti dell’autorità ecclesiastica volti a chiudere ‘definitivamente’ la questione sono diventati abbastanza ricorrenti, il che dimostra che non è poi tanto facile chiuderla. Il dibattito è aperto e procede. Il secondo, che l’argomentazione teologica sembra cambiata ancora: felicemente sepolto l’infelicissimo argomento della coerenza simbolica, già pilastro dell’Inter insigniores, si richiama solo la prassi ininterrotta della chiesa romana e sempre più spesso si sente riconoscere, anche dalle voci più autorevoli, che contro l’ordinazione delle donne non ci si può appellare a ragioni biblico-teologiche.

No, non si tratta di banali rivendicazioni. L’esclusione interpella tutti: nessuna/nessun credente adulto può disinteressarsi di questo problema chiave finché le donne nella chiesa non avranno di fatto le stesse possibilità degli uomini, la stessa dignità di rappresentanza.

E’ necessario ricordare che vi sono donne cattoliche di alto valore e seriamente impegnate – tra loro anche alcune teologhe – che a una domanda precisa sul problema dei ministeri istituiti rispondono o risponderebbero più o meno così: no grazie, il sacerdozio così com’è proprio non ci interessa. E’ un atteggiamento che merita rispetto: almeno in quanto manifesta il timore che insistere troppo sul tema dell’ordinazione induca ad accentuare l’importanza dei ministri ordinati nella Chiesa (mentre sarebbe urgente semmai ridurre quell’importanza, insomma ‘declericalizzare’).

Ma dobbiamo ricordare che il “sacerdozio così com’è”, nella storia e nella mentalità corrente, si fonda proprio sulla ‘separazione’, sullo spirito di casta, sul sospetto previo e sul rifiuto nei confronti della donna, che nella chiesa di Roma si esprime in una doppia modalità: l’esclusione delle donne dalle funzioni di culto, di governo e di magistero, è parallela all’obbligo istituzionale di essere “senza donna” per coloro che le esercitano. Il divieto per le donne di essere ministri ordinati el’obbligo per i ministri ordinati di restare celibi sembrano due problemi ben distinti, mentre sono congiunti alla radice. E ormai sappiamo che potranno giungere a soluzione solo insieme.

Segno dei tempi, certo. Segno di trasformazione, segno contraddittorio, segno incompleto, proprio come il tempo in cui viviamo. Per quanto riguarda la chiesa cattolica, però, non solo segno, ma indice di autenticità. Non temiamo di dire che sulla questione dei ministeri, che solo a uno sguardo superficiale o ideologico può apparire circoscritta, si gioca il futuro della chiesa.

Lilia Sebastiani

Teologa

Rispondere al messaggio

CREATIVITA’: KANT E LA CRITICA DELLA SOCIETA’ DELL’UOMO A “UNA” DIMENSIONE. —– LA VIOLENZA SULLE DONNE, UN MONDO DEL SOMMERSO (di Sergio Givone – Donne e violenza problema politico). 6 marzo 2012, di Federico La Sala

Donne e violenza problema politico

di Sergio Givone (Il Messaggero, 6 marzo 2012)

Come ci ricordano i più recenti fatti di cronaca, non solo il mondo dell’economia, ma anche il mondo dell’etica, il mondo dove leggi non scritte regolano i rapporti tra gli uomini, ha il suo sommerso. La violenza sulle donne serpeggia tra di noi, nelle famiglie, nella società civile, ma viene tenuta nascosta, taciuta, come cosa di cui non si vorrebbe né parlare né sentire. Eppure è sempre lì, non meno presente che in epoche in cui il diritto ben poco diceva in proposito. Nel frattempo la famiglia si è profondamente trasformata. La sua legislazione si è uniformata a costumi più civili e più consoni alla dignità di questa fondamentale istituzione. Vedi ad esempio la legge sullo stalking: che è una buona legge, a protezione di chi prima neppure si immaginava dovesse essere difeso dall’ira o dalla furia del proprio coniuge o dei propri familiari.

Ma è rimasta come una zona d’ombra, un lato oscuro, dove si susseguono gli episodi di una saga dell’orrore. L’altro ieri a Brescia, ieri a Verona. I comportamenti di tanta brava gente «normale» sembrano governati da una sorda e cupa irrazionalità, da un folle impulso distruttivo, da una sete di vendetta e di sangue. Di fronte alla separazione, c’è chi letteralmente impazzisce. E anziché trovare un compromesso e costruire un nuovo ponte verso la vita che continua (quando un legame si spezza, resta sempre qualcosa, a volte qualcosa di molto importante e prezioso), preferisce annientare la vita altrui e la propria.

Che dire? Evidentemente quel rapporto non era un rapporto tra due persone, ma una forma di possesso e di dominio dell’una sull’altra. Da una parte il padrone, dall’altra una sua proprietà inalienabile, un oggetto, una cosa, che non appena rivendica la sua autonomia, viene ridotta a nulla, poiché agli occhi del padrone non è più nulla. Lui stesso a quel punto non sa più chi è. E si ammazza o tenta di farlo. Accecato dalla gelosia, si dice. Spinto a un gesto insano dal proprio demone e cioè dal bisogno di affermazione, dalla prepotenza, dall’egotismo. Tutto ciò – si aggiunge – sarebbe in fondo una caratteristica di un popolo come il nostro, popolo passionale, votato al melodramma, e comunque poco propenso all’autocontrollo e all’esercizio delle virtù civili.

Spiegazione, questa, che in realtà non spiega niente. Perché qui non si tratta di melodramma o non melodramma. Si tratta di sapere o non saper gestire una situazione autenticamente drammatica come per l’appunto una separazione (che è sempre tale, anche quando si vorrebbe bastasse il buon senso e una stretta di mano), dal momento che niente è così difficile come essere all’altezza del dramma che la vita prima o poi ci costringe a recitare.

E chissà se anche oggi gli uomini politici si fanno domande di questo genere. In agenda le questioni economiche e finanziarie prevalgono sulle altre, ma sempre lì si va a parare. Prendiamo l’evasione fiscale. Sarà pure una tendenza incoercibile degli italiani. Ciò non toglie che il sommerso possa essere portato alla luce e sanzionato di conseguenza. Magari nella prospettiva di una educazione al bene comune.

  • Lo stesso vale per la violenza sulle donne. È

Stringrammabgrundynphynytesymonty resynphynytesymonty Crisi della metaFisica stringa di stringa String-crisi della Fisica stringa stringramma della stringa vuoto della stringa. La Crisi della Fisica è l'eventità fenoumenonty CRISI DELLA FISICA CAtastrofeventua. Pansophysysinphynitesimonty la catastrofenoumeninphynytesymonty INFINITESIMONT non-essere-STRYNGrammampiezzAbGRUND  PANSOPhysistryngrammynphynitesymaleventy È strinGravitygluonynphynytesymaleventy gravitonty schemabgrundynphynytesymaleventy cromontypnynytesymaleventy CATASTRINGABGrundy delle Stringheventy. Stringheventonty di stringrammabgrundy vibra stringa, corrispondono diverse particelle elementari, allo stesso modo in cui ad una certa vibrazione di una corda di un violino corrisponde una nota. Quindi mentre nella teoria dei campi si prende in considerazione una particella, che è una entità zero-dimensionale e che muovendosi da origine alla linea d'universo, nella teoria delle stringhe consideriamo oggetti uni-dimensionali, i quali spostandosi spazzano un area detta world-sheet o supercie d'universo Fig.( 2.1). Figura 2.1 Le stringhe possono essere aperte o chiuse. Una stringa chiusa è una stringa che non ha punti nali, come un cerchio, mentre una stringa aperta ha due punti nali 1Per lunghezza di Planck si intende la distanza alla quale la gravità diviene dello stesso ordine di grandezza delle altre interazioni. 49 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA ed è topologicamente equivalente a un intervallo lineare. La stringa risolve i problemi di divergenza ultravioletta a fronte dell'introduzione di un numero innito di particelle. La quantizzazione della Teoria di Stringa Bosonica può essere eettuata sia nello schema canonico nel cono di luce o in modo covariante, che nel formalismo dell'integrale sui cammini. 2.2.1 Quantizzazione mediante formalismo degli integrali sui cammini Al ne di studiare l'azione sul world-sheet, prendiamo inizialmente in considerazione la lagrangiana per una particella relativistica per poi generalizzarla al nostro caso. In uno spazio a D dimensioni, possiamo descrivere il moto di una particella dando la sua posizione in termini di D-1 funzioni del tempo, x(t). Anché sia valida l'invarianza di Lorentz, introduciamo il tempo proprio  , ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella, che descrive il moto nello spazio-tempo da D funzioni X( ). L'azione di una particella relativistica è S = ??m Z d  ?? _X  X 1=2 (2.1) che risulta essere proporzionale alla lunghezza della linea d'universo, che coincide con quella misurata nel sistema di riferimento proprio. La variazione dell'equazione (2.1), integrando per parti, è S = ??m Z d u  X (2.2) dove u = _X   ?? _X  _X 1=2 : (2.3) L'azione (2.1) non è lineare dato che contiene una radice quadrata e risulta, quindi, dicile da quantizzare. Inoltre non descrive particelle a massa nulla. Introduciamo un campo ausiliario e(t), in modo da ottenere S0 = 1 2 Z d  ?? 1 e @X @ @X @  + m2 e  : (2.4) Dall'equazione del moto per e(t) otteniamo S0 e = 0 ) e = s ?? _X  _X m2 ; (2.5) che sostituito nell'equazione (2.4) restituisce nuovamente la (2.1). Osservando che il momento coniugato della particella è p = @L @ _X  = ?? _X  e ; (2.6) 50 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA le equazioni del moto di e equivalgono alla condizione di mass shell p2 + m2 = 0. Inoltre per m = 0 l'azione (2.4) è ancora valida. Essendo le stringhe oggetti unidimensionali, lo spazio in cui sono descritte richiede, oltre al tempo proprio  , anche un parametro aggiuntivo  che descriva la coordinata lungo la stringa. Le funzioni X( ,) descrivono le stringhe, denendo la forma del world-sheet preso in considerazione. L'azione di Nambu-Goto [17], cioè l'azione proporzionale all'area del foglio d'universo, è SNG = ??T Z M dd p det gab (2.7) dove T = 1=(2 0) è la tensione di stringa ([T] = L??2), 0 è la pendenza di Regge, gab = @aX@bX è la metrica indotta sul world-sheet e M indica il foglio d'universo. Esplicitando il determinante della metrica, possiamo riscrivere l'equazione (2.7) come SNG = ??T Z M dd r _X  X0 2 ?? _X 2X02: (2.8) Notiamo che, anche in questo caso, compare una radice quadrata. Possiamo riscrivere l'azione di Nambu-Goto introducendo la metrica bidimensionale sul world-sheet [19] ab(; ), con la segnatura di Lorentz (–,+): SP = ?? T 2 Z M dd p ??

ab@aX@bX; (2.9) dove = det ab. La (2.9) è detta azione di Brink-Di Vecchia-Howe-Deser-Zumino o di Polyakov e come vedremo gioca un ruolo cruciale nel calcolo del path integral [20] [21]. L'azione (2.9) ha le seguenti simmetrie:  invarianza di Poincaré2 X0(; ) =  X(; ) + a

0 ab(; ) = ab(; ); (2.10)  invarianza per dieomorsmi del world-sheet X0( 0; 0) = X(; ); @0c @a @0d @b 0 cd = ab(; ); (2.11) per nuove coordinate 0 = 0(; ),  0 =  0(; ).  invarianza bidimensionale di Weyl X0(; ) = (X(; );

0 ab(; ) = e2!(;) ab(; ) (2.12) per un !(; ) arbitrario. 2Il gruppo di Poincarè è costituito dal gruppo di Lorentz e dal gruppo delle traslazioni. 51 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Vogliamo calcolare la funzione di partizione per la stringa bosonica, ovvero la Z = Z dgab dx e??SP [x;g]; (2.13) dopo aver fatto la rotazione di Wick dalla metrica ab alla metrica Euclidea gab(1; 2) di segnatura (+; +). L'integrale su tutte le congurazioni (x; gab) contiene un enorme sovrastima, in quanto congurazioni collegate tra loro dalla simmetria locale diffWeyl, rappresentano la stessa congurazione sica. Per evitare ciò dobbiamo dividere per il volume del corrispondente gruppo Z = Z dgabdx VdiffWeyl e??Sp ; (2.14) e utilizzare il metodo di Fadeev-Popov. Nel caso, infatti, in cui l'azione presenti delle simmetrie, esistono modi nulli, e una integrazione su tutte le congurazioni del campo darebbe 1. Il metodo di Fadeev e Popov ci permette di ssare il gauge, integrando su una curva tale che intersechi ogni classe di equivalenza di gauge una sola volta, come illustrato in Fig.( 2.2). Figura 2.2 Indichiamo con  i dieomorsmi che danno luogo alle trasformazioni di Weyl della metrica  : g ! g; g ab(0) = e2!() @c @0c @d @0b gcd(): (2.15) Possiamo denire la misura di Fadeev-Popov FP come 1 = FP (g) Z  d  (g ?? g); (2.16) 52 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA dove  d  è la misura gauge invariante del gruppo diff  Weyl e con la funzione delta abbiamo imposto che gab() = g ab(). Inserendo la (2.16) in (2.14), otteniamo Z = Z  d dxdg  VdiffWeyl FP (g) (g ?? g) e??SP [x;g] = = Z  d dx VdiffWeyl FP (g) e??SP [x0;g]: (2.17) dove abbiamo indicato con x0 le nuove coordinate dopo avere eettuato l'integrazione della delta. Sapendo che FP è gauge invariante FP (g)??1 = Z [d0](g ?? g0 ) = Z [d0](g ?? g??1??0 ) = Z [d00](g ?? g00 ) = FP (g)??1; (2.18) come anche la misura d'integrazione [dx ] e l'azione SP [x0; g], otteniamo Z = Z [ddx] VdiffWeyl FP e??SP [x;g]: (2.19) L'integrando in (2.19) dipende solo da  e, quindi, l'integrazione su  corrisponde proprio al volume del gruppo. La (2.19) è una somma su tutte le geometrie (Fig.( 2.3)): al termine di ordine g corrisponde il multitoro con g manici (ontopologramma PAnSTRINGA STRINGA già STRINGA CataSTRINGA STRINGrammy STRINGA ResynSTRINGA INTERSTRINGrammA Singolarità STRINGA INTERSTRINGA STRINGABgrammy stringXSTRINGA stringheventy non-essere-STRINGA STRINGrammA STRINGABgrundy non-essere stringXSTRINGA è tachionty stringavuotontySTRINGAspaziotemporale

l'ampiezza si comporta come una sinusoide di lunghezza d'onda del punto di sella. GP essere. È nullonty già essere spaziale matemaspaziotemporalessere è CAtagrammy gramma grammabgrundinfinitesimonty ResynINFINITEsimontygrammy ontopologynphynitesimontygramma grammastringaquarkFinnegan's Wake di J. Joyce). L'azione di queste due forze si manifesta solo su scala sub-atomica. La forza elettromagnetica è responsabile dell'interazione tra il campo e gli oggetti che possiedono carica elettrica. Inne la gravità, la forza più debole rispetto alle altre tre, fu la prima forza fondamentale identicata storicamente, descritta inizialmente da Newton attraverso la teoria della gravitazione universale e in seguito dalla relatività generale di Einstein. A queste quattro forze sono associate delle particelle che possono essere viste come i quanti dei rispettivi campi, mediatrici dell'interazione [16]: per le forze nucleari abbiamo i bosoni di gauge deboli e i gluoni, per la forza elettromagnetica i fotoni e per la gravità, i gravitoni. L'esistenza delle prime tre particelle è stata vericata sperimentalmente mentre l'ultima è stata solamente ipotizzata. Negli anni '60 S. Glashow, A. Salam e S. Weinberg hanno ipotizzato una teoria in grado di descrivere le forze deboli e elettromagnetiche in un unico schema noto come teoria elettrodebole, che fu vericata dall'esperimento UA(1) condotto da C. Rubbia nel 1983 al CERN di Ginevra. La forza forte è descritta dalla cromodinamica quantistica e insieme alla teoria elettrodebole forma il Modello Standard, le cui previsioni sono state vericate con precisione no a 1011 [16]. Il Modello Standard, però, non può essere considerato come una teoria com- 48 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA pleta perché andando verso la scala di Planck1, deve esistere una teoria quantistica della gravità. La relatività, come detto, non è in grado di descriverla a causa delle violente uttuazioni quantistiche che si vericano [16] [18]. Veneziano, Nambu, Polyakov, Green, Schwarz, Witten, Polchinsky e molti altri hanno formulato una teoria in grado di conciliare la meccanica quantistica, che spiega fenomeni atomici, con la relatività generale, che, invece, spiega le proprietà di dell'universo su larga scala, nota come Teoria delle Stringhe. Si ipotizza che la Teoria delle Stringhe, contenga il Modello Standard e possa essere la teoria nale che descrive in un solo ambito tutte le forze e le particelle (Teoria del Tutto) [16]. 2.2 Funzione di partizione di stringa bosonica Le stringhe sono oggetti unidimensionali che hanno una lunghezza caratteristica dell'ordine della lunghezza di Planck. Alla struttura e al modo di vibrare di una stringa, corrispondono diverse particelle elementari, allo stesso modo in cui ad una certa vibrazione di una corda di un violino corrisponde una nota. Quindi mentre nella teoria dei campi si prende in considerazione una particella, che è una entità zero-dimensionale e che muovendosi da origine alla linea d'universo, nella teoria delle stringhe consideriamo oggetti uni-dimensionali, i quali spostandosi spazzano un area detta world-sheet o supercie d'universo Fig.( 2.1). Figura 2.1 Le stringhe possono essere aperte o chiuse. Una stringa chiusa è una stringa stringravità

è Topologydiagramma strinGravity STRINGravità. La relatività, come detto, non è in grado di descriverla a causa delle violente uttuazioni quantistiche che si vericano [16] [18]. Veneziano, Nambu, Polyakov, Green, Schwarz, Witten, Polchinsky e molti altri hanno formulato una teoria in grado di conciliare la meccanica quantistica, che spiega fenomeni atomici, con la relatività generale, che, invece, spiega le proprietà di dell'universo su larga scala, nota come Teoria delle Stringhe. Si ipotizza che la Teoria delle Stringhe, contenga il Modello Standard e possa essere la teoria nale che descrive in un solo ambito tutte le forze e le particelle (Teoria del Tutto) [16]. 2.2 Funzione di partizione di stringa bosonica Le stringhe sono oggetti unidimensionali che hanno una lunghezza caratteristica dell'ordine della lunghezza di Planck. Alla struttura e al modo di vibrare di una stringa, corrispondono diverse particelle elementari, allo stesso modo in cui ad una certa vibrazione di una corda di un violino corrisponde una nota. Quindi mentre nella teoria dei campi si prende in considerazione una particella, che è una entità zero-dimensionale e che muovendosi da origine alla linea d'universo, nella teoria delle stringhe consideriamo oggetti uni-dimensionali, i quali spostandosi spazzano un area detta world-sheet o supercie d'universo Fig.( 2.1). Figura 2.1 Le stringhe possono essere aperte o chiuse. Una stringa chiusa è una stringa che non ha punti nali, come un cerchio, mentre una stringa aperta ha due punti nali 1Per lunghezza di Planck si intende la distanza alla quale la gravità diviene dello stesso ordine di grandezza delle altre interazioni. 49 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA ed è topologicamente equivalente a un intervallo lineare. La stringa risolve i problemi di divergenza ultravioletta a fronte dell'introduzione di un numero innito di particelle. La quantizzazione della Teoria di Stringa Bosonica può essere eettuata sia nello schema canonico nel cono di luce o in modo covariante, che nel formalismo dell'integrale sui cammini. 2.2.1 Quantizzazione mediante formalismo degli integrali sui cammini Al ne di studiare l'azione sul world-sheet, prendiamo inizialmente in considerazione la lagrangiana per una particella relativistica per poi generalizzarla al nostro caso. In uno spazio a D dimensioni, possiamo descrivere il moto di una particella dando la sua posizione in termini di D-1 funzioni del tempo, x(t). Anché sia valida l'invarianza di Lorentz, introduciamo il tempo proprio  , ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella, che descrive il moto nello spazio-tempo da D funzioni X( ). L'azione di una particella relativistica è S = 􀀀m Z d  􀀀 _X  X 1=2 (2.1) che risulta essere proporzionale alla lunghezza della linea d'universo, che coincide con quella misurata nel sistema di riferimento proprio. La variazione dell'equazione (2.1), integrando per parti, è S = 􀀀m Z d u  X (2.2) dove u = _X   􀀀 _X  _X 1=2 : (2.3) L'azione (2.1) non è lineare dato che contiene una radice quadrata e risulta, quindi, dicile da quantizzare. Inoltre non descrive particelle a massa nulla. Introduciamo un campo ausiliario e(t), in modo da ottenere S0 = 1 2 Z d  􀀀 1 e @X @ @X @  + m2 e  : (2.4) Dall'equazione del moto per e(t) otteniamo S0 e = 0 ) e = s 􀀀 _X  _X m2 ; (2.5) che sostituito nell'equazione (2.4) restituisce nuovamente la (2.1). Osservando che il momento coniugato della particella è p = @L @ _X  = 􀀀 _X  e ; (2.6) 50 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA le equazioni del moto di e equivalgono alla condizione di mass shell p2 + m2 = 0. Inoltre per m = 0 l'azione (2.4) è ancora valida. Essendo le stringhe oggetti unidimensionali, lo spazio in cui sono descritte richiede, oltre al tempo proprio  , anche un parametro aggiuntivo  che descriva la coordinata lungo la stringa. Le funzioni X( ,) descrivono le stringhe, denendo la forma del world-sheet preso in considerazione. L'azione di Nambu-Goto [17], cioè l'azione proporzionale all'area del foglio d'universo, è SNG = 􀀀T Z M dd p det gab (2.7) dove T = 1=(2 0) è la tensione di stringa ([T] = L􀀀2), 0 è la pendenza di Regge, gab = @aX@bX è la metrica indotta sul world-sheet e M indica il foglio d'universo. Esplicitando il determinante della metrica, possiamo riscrivere l'equazione (2.7) come SNG = 􀀀T Z M dd r _X  X0 2 􀀀 _X 2X02: (2.8) Notiamo che, anche in questo caso, compare una radice quadrata. Possiamo riscrivere l'azione di Nambu-Goto introducendo la metrica bidimensionale sul world-sheet [19] ab(; ), con la segnatura di Lorentz (–,+): SP = 􀀀 T 2 Z M dd p 􀀀

ab@aX@bX; (2.9) dove = det ab. La (2.9) è detta azione di Brink-Di Vecchia-Howe-Deser-Zumino o di Polyakov e come vedremo gioca un ruolo cruciale nel calcolo del path integral [20] [21]. L'azione (2.9) ha le seguenti simmetrie:  invarianza di Poincaré2 X0(; ) =  X(; ) + a

0 ab(; ) = ab(; ); (2.10)  invarianza per dieomorsmi del world-sheet X0( 0; 0) = X(; ); @0c @a @0d @b 0 cd = ab(; ); (2.11) per nuove coordinate 0 = 0(; ),  0 =  0(; ).  invarianza bidimensionale di Weyl X0(; ) = (X(; );

0 ab(; ) = e2!(;) ab(; ) (2.12) per un !(; ) arbitrario. 2Il gruppo di Poincarè è costituito dal gruppo di Lorentz e dal gruppo delle traslazioni. 51 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Vogliamo calcolare la funzione di partizione per la stringa bosonica, ovvero la Z = Z dgab dx e􀀀SP [x;g]; (2.13) dopo aver fatto la rotazione di Wick dalla metrica ab alla metrica Euclidea gab(1; 2) di segnatura (+; +). L'integrale su tutte le congurazioni (x; gab) contiene un enorme sovrastima, in quanto congurazioni collegate tra loro dalla simmetria locale diffWeyl, rappresentano la stessa congurazione sica. Per evitare ciò dobbiamo dividere per il volume del corrispondente gruppo Z = Z dgabdx VdiffWeyl e􀀀Sp ; (2.14) e utilizzare il metodo di Fadeev-Popov. Nel caso, infatti, in cui l'azione presenti delle simmetrie, esistono modi nulli, e una integrazione su tutte le congurazioni del campo darebbe 1. Il metodo di Fadeev e Popov ci permette di ssare il gauge, integrando su una curva tale che intersechi ogni classe di equivalenza di gauge una sola volta, come illustrato in Fig.( 2.2). Figura 2.2 Indichiamo con  i dieomorsmi che danno luogo alle trasformazioni di Weyl della metrica  : g ! g; g ab(0) = e2!() @c @0c @d @0b gcd(): (2.15) Possiamo denire la misura di Fadeev-Popov FP come 1 = FP (g) Z  d  (g 􀀀 g); (2.16) 52 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA dove  d  è la misura gauge invariante del gruppo diff  Weyl e con la funzione delta abbiamo imposto che gab() = g ab(). Inserendo la (2.16) in (2.14), otteniamo Z = Z  d dxdg  VdiffWeyl FP (g) (g 􀀀 g) e􀀀SP [x;g] = = Z  d dx VdiffWeyl FP (g) e􀀀SP [x0;g]: (2.17) dove abbiamo indicato con x0 le nuove coordinate dopo avere eettuato l'integrazione della delta. Sapendo che FP è gauge invariante FP (g)􀀀1 = Z [d0](g 􀀀 g0 ) = Z [d0](g 􀀀 g􀀀1􀀀0 ) = Z [d00](g 􀀀 g00 ) = FP (g)􀀀1; (2.18) come anche la misura d'integrazione [dx ] e l'azione SP [x0; g], otteniamo Z = Z [ddx] VdiffWeyl FP e􀀀SP [x;g]: (2.19) L'integrando in (2.19) dipende solo da  e, quindi, l'integrazione su  corrisponde proprio al volume del gruppo. La (2.19) è una somma su tutte le geometrie (Fig.( 2.3)): al termine di ordine g corrisponde il multitoro con g manici (Fig.( 2.3)). Figura 2.3 Siamo interessanti al caso ad 1-loop, cioè alla supercie con la topologia del toro. Possiamo pensare a un toro come un parallelogramma nel piano w, dove w = 1 + 2, con metrica d2s = dwd  w e con condizioni periodiche w  w + m + n: (2.20) Il parametro  è noto come parametro di Teichmüller o modulo del toro e si può sempre scegliere con Im( ) > 0. Il toro inoltre piastrella un reticolo generato dai vettori 1 e  . Altrimenti possiamo ssare la periodicità delle coordinate, a scapito 53 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA d(ella metrica, come illustrato in Fig.( 2.4). Scrivendo w = w1 + iw2, abbiamo w1  w1 + m + n1 w2  w2 + n2 . Deniamo w = 1 + 2 = 1 +  12 + i 22 (2.21) dove ( 1 = w1 􀀀 1 2w2 2 = 1 2w2: (2.22) Le equazioni (2.22) portano alle identicazioni 1  1 + m 2  1 + n (2.23) con metrica ds2 = jd1 + d2j2. Figura 2.4 Dobbiamo comunque dire che non tutti i valori di  nel semipiano superiore complesso corrispondono a tori inequivalenti. Piuttosto, tutti i valori relativi al gruppo modulare PSL(2; Z) = SL(2; Z)=Z2 agiscono su  come  ! a + b c + d ; (2.24) dove a; b; c; d 2 Z e ad 􀀀 bc = 1. Le trasformazioni ( S :  7! 􀀀1  T :  7!  + 1 (2.25) generano il gruppo modulare. Possiamo, quindi, denire una regione fondamentale F, mostrata in Fig.( 2.5), nella quale ogni  nel semipiano complesso positivo può essere ottenuto unicamente come una trasformazione modulare agente su qualche  2 F. 54 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Figura 2.5 Consideriamo ora x e gab funzioni periodiche di 0 < 1 < 1 e 0 < 2 < 1: ( x(1 + 1; 2) = x(1; 2 + 1) = x(1; 2) gab(1 + 1; 2) = gab(1; 2 + 1) = gab(1; 2): (2.26) Qualsiasi metrica, che rispetti in due dimensioni, si può porre nella forma ds2 = gabdadb = e()jd1 + d2j2; (2.27) attraverso una Trasformazione Generale di Coordinate, con  un numero complesso e, come già detto, Im( ) > 0. Qualsiasi variazione della metrica è pari alla somma di una trasformazione di Weyl, di una trasformazione generale di coordinate e una variazione di  [22] gab() = gab () + a;b() + b;a() + gab;i() i; (2.28) dove 1 = Re( ),2 = Im( ). Sapendo che l'integrale sulla metrica si separa in un integrale sul gruppo di Weyl, un integrale sul gruppo delle coordinate generali e un integrale su  , dobbiamo tener conto anche dello Jacobiano, di modo che [23] dg = (dd)0d2J(;  ); (2.29) dove l'apice indica la misura priva di modi nulli. Infatti le variazioni ( a() = a () = 􀀀a@a() (2.30) per a costante danno gab = 0. Deniamo le metriche per piccole variazioni nei campi 8>>>< >>>: jjgjj2 = R d2 p g(gacgbd + Cgabgcd)abcd jjjj2 = R d2 p g2 jjjj2 = R d2 p ggabab jjxjj2 = R d2 p gxx (2.31) 55 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA dove C è una costante arbitraria. Deniamo ora, implicitamente, la normalizzazione delle misure in termini degli integrali gaussiani 8>>>>>>< >>>>>>: R dge􀀀jjgjj2=2 = 1 R de􀀀jjjj2=2 = 1 R de􀀀jjjj2=2 = 1 R dxe􀀀jjxjj2=2 = 1 R d2e􀀀ii R d2p g=2 = R 2 d2g p g (2.32) dove d2 = d1d2. Considerando le condizioni (2.30), possiamo scrivere [23] dd = (dd)0d1d2 (2.33) e jjjj2 = Z d2 p g() = = Z d2 p g() 0 + Z d2 p g(􀀀a@a)(􀀀b@b) (2.34) jjjj2 = Z d2 p qgabab = = Z d2 p ggab(ab) 0 + Z d2 p ggab(ab): (2.35) Moltiplicando entrambi i lati per la quantità e􀀀jjjj2=2􀀀jjjj2=2 e integrando, otteniamo 1 = Z d1d2e􀀀1 2 R d2 p ggabab@a@b) Z (dd) 0 e􀀀jjjj2=2􀀀jjjj2=2: (2.36) Anche per lo Jacobiano J(;  ), moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione (2.28) per la quantità e􀀀jjgjj2=2 e integriamo, ottenendo così 1 = J(;  ) Z (dd)0d2ejjgjj2=2; (2.37) dove jjgjj2 =  ai  M 2 4   j 3 5: (2.38) La matrice M conviene scriverla come un prodotto M = J N JT (2.39) 56 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA con J = 2 4 1 0 0 􀀀Da a c 0 1 2gefgef;i 0 ik 3 5 (2.40) N = 2 4 2 + 4C 0 0 0 2c d 􀀀2Dei e c 0 2k edDe kefl ef 3 5 (2.41) JT = 2 4 1 Db 1 2gefgef;i 0 d b 0 0 0 lj 3 5 (2.42) dove c d = 􀀀c dD2 􀀀 DdDc + DcDd e iab = gab;i 􀀀 1 2gabgcd 􀀀 gcd;i. Procediamo calcolando il det(M): notiamo che il termine 􀀀2Dei e c è nullo e quindi, essendo la matrice M triangolare superiore, il determinante sarà det(M) = det(2 + 4C) det(2c d) det(kefl ef ). Nel caso del toro, poiché i simboli di Christoel sono nulli, possiamo scrivere 2c d = 2[􀀀c d@2􀀀@d@c +@c@d] = 􀀀2c d@2. Inne il termine kefl ef è kefl ef =  @kgef 􀀀 1 2 gefgcd@kgcd  gefgf  Dlg 􀀀 1 2 g g @lg   = = @kg @lg 􀀀 1 2 g @kg g @lg  􀀀 1 2 g @lg gcd@kgcd + 1 2 gcd@kgcdg @lg : Perciò il determinante dei tre termini è det(N) = det(2 + 4C) det(􀀀2c d@2) det(kefl ef ) = = det(2 + 4C) det(􀀀c d@2@kg @lg + c d@2g @kg g @lg  + c d@2g @lg gcd@kgcd􀀀 􀀀 1 2 c d@2gcd@kgcdg g g @lg ) = = det(2 + 4C) det(g @2) det( 􀀀 􀀀2c d@k@lg + c d@kg g @lg  + c dg @lgcd@kgcd􀀀 􀀀 1 2 c dgcd@kgcdg g @lg   = = det(2 + 4C)det 0 [􀀀2d c gab@a@b] 2  2 2 Inoltre det(J) = det 2 4 1 0 0 􀀀Da a c 0 1 2gefgef;i 0 ik 3 5 = 1  det  a c 0 0 ik  = 1; (2.43) allora possiamo riscrivere l'equazione (2.37) come 1 = R 2 d2 p g (detQab) 1 2 2 1 det(M) J(;  ) = = (detQab) 1 2 R d2 p g J(;  ) 1 det(M) : (2.44) 57 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Osservando che det(M) = det(J) det(N) det(JT ) = det(N), l'equazione (2.44) è 1 = (detQab) 1 2 R d2 p g det(N) 1 2 J(;  ) ) J(;  ) = R d2 p g (det(Qab) 1 2 det(N) 1 2 : (2.45) Procediamo considerando l'integrazione su x, che può essere separata come x() = x + x0 (); (2.46) dove x0() è ortogonale alla costante. Possiamo inoltre denire Z dx0 ejjxjj2=2 = R d2p g 2 1 2 : (2.47) Sapendo che dx = dxdx0 e che l'integrazione su x0 diverge, poniamo il sistema in una scatola periodica di dimensioni d e con lati di lunghezza L. Quindi otteniamo Z dxe􀀀T 2 R d2 p ggab@ax@bx = Y  L nR 2 d2p g det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b o􀀀d 2 : (2.48) Riscriviamo l'equazione (2.14) come Z = Z dgabdx VGCVW e􀀀T 2 R d2 p ggab@ax@bx = = Z (dd)0d2 VGCVW J(;  ) Y  L R 2 d2 p g det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2 : (2.49) Dall'equazione (2.45), Z è Z = Z (dd)0d2 VGCVW R d2 p g (detQab) 1 2 (det 0N) 1 2 Y  L R 2 d2 p g det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2 = = Z (dd)0d2 VGCVW Y  L  (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)􀀀1 2 (2)􀀀d 2 det 0 (􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2  : (2.50) Il volume del gruppo di Weyl è proprio R d, mentre il gruppo delle coordinate generali è la componente connessa moltiplicata per un gruppo D di trasformazioni disconnesse che lasciano invariate le condizioni (2.30). Una scelta di gauge ssa alcune delle trasformazioni e rimane invariata in un sottogruppo ~D. Il determinante di Fadeev-Popov contiene un fattore order(D)=order(~D ). Sapendo che il VGC contiene un fattore order(D), il denominatore è [23] VGCVW ! order(~D) Z d Z d: (2.51) Al ne di eliminare l'integrazione su  e  tra numeratore e denominatore dobbiamo considerare che: 58 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA  i volumi delle integrazioni complete ( R dd) e ristrette( R (dd)0d1d2) sono collegate in quanto l'intervallo d'integrazione di 1 e 2 è da 0 a 1, infatti Z dd = Z (dd)0 Z 1 0 d1 Z 1 0 d2 = Z (dd)0 (2.52)  la quantità  (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)􀀀1 2 (2)􀀀d 2 det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2  (2.53) nell'equazione (2.50) è indipendente da . Ogni dipendenza emerge dall'anomalia conforme. Questa è una proprietà locale e, a prescindere dalla topologia, vale   ln  (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)􀀀1 2 (2)􀀀d 2 det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2  = = 26 􀀀 d 96 @2 + (2 􀀀 2)e; (2.54) come dimostrato da Polyakov [22]. Il primo termine si annulla nella dimensione critica d = 26, mentre nel secondo, la somma di tutti i contributi quantistici 2 può essere cancellato con una scelta appropriata di 2. Questo è naturale nella dimensione critica, poiché il gruppo di Weyl è una simmetria esatta. Quindi possiamo eliminare l'integrazione su  e  e porre () = 0 nell'equazione (2.50). Eettuando i calcoli: 8>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>: Z d2 p g = 2; detQab =  4 2 ; (det 0 N) 1 2 = (det[2 + 4C]) 1 2 (det 0 [􀀀2d c gab@a@b]) 1 2 2  2 2 ; (det 0 [􀀀2d c gab@a@b]) 1 2 = det 0 [􀀀2gab@a@b] = = det 0 (2)det 0 (􀀀gab@a@b) = = 1 2 det(2) det 0(􀀀gab@a@b); det 0 (􀀀T p g􀀀1@agabp g@b) = det 0 (􀀀gab@a@b) det(T) T : (2.55) Per calcolare il determinante di (􀀀gab@a@b), facciamo uso del metodo detto  Zeta Function Regularitation  [15]: consideriamo un operatore A con autovalori reali e positivi a1;    ; an e autofunzioni fn(x) Afn(x) = anfn(x): (2.56) 59 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Deniamo A(s) = X n 1 an s (2.57) come la  􀀀 function associata all'operatore A. Notiamo che dA(s) ds s=0 = 􀀀 X n ln(an) e􀀀san s=0 = 􀀀ln Y n an  ; (2.58) la quale possiamo scrivere anche come det(A) = Y n an = e􀀀 dA(s) ds js=0: (2.59) Nel caso che stiamo considerando, il laplaciano agisce sullo scalare come  = gab@a@b: (2.60) Le basi ortonormali per il campo scalare sono date dal set completo di autofunzioni X 0 () = X n1n2 0 an1n2 n1n2(a); n1n2(a) = 1 p 2 e2i(n22+n11): (2.61) Il set di autovalori è !n1n2 = 4 2 (gabnanb) = 42 2 2 jn2 􀀀 n1j2 (2.62) Riprendendo il metodo della zeta function regularization, ciò che dobbiamo calcolare è [15] ln det 0  Y+1 n1=􀀀1 Y+1 n2=􀀀1 !n1n2  = = ln det 0 () = X n1n2 0 ln h42  2 (n2 􀀀 n1 ) (n2 􀀀 n1 ) i : (2.63) Considerando l'equazione (2.57), abbiamo 􀀀lim s!0 d ds X n1n2 0 h42  2 (n2 􀀀 n1 ) (n2 􀀀 n1 ) i􀀀s (2.64) Il termine n1 = n2 = 0 è incluso nella somma innita, introducendo un regolatore di massa infrarosso, m, per i modi zero. Quindi ln det 0  = 􀀀lim s!0 lim m!0 n d ds h42 2 2 􀀀sX n1n2  (n2 􀀀 n1 ) (n2 􀀀 n1 ) + m2 􀀀 m2 io = = 􀀀lim s!0 lim m!0 n d ds h42 2 2 􀀀sX n1n2 􀀀 (n2 􀀀 n1 )(n2 􀀀 n1 ) + m2􀀀s 􀀀  42m2 2 2 􀀀sio (2.65) 60 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Per calcolare più facilmente l'equazione (2.65), la separiamo momentaneamente in due parti  lim m!0 lim s!0 d ds h42m2 2 2 i􀀀s = lim m!0 lim s!0 h42m2 2 2 􀀀s ln 42m2 2 2 􀀀1i = 2 ln 2 (2.66)  Mediante opportune manipolazioni algebriche, (n2 􀀀 n1 )(n2 􀀀 n1 ) = (n2 􀀀 n11)2 + n12 2, possiamo scrivere X+1 n1=􀀀1 X+1 n2=􀀀1  (n2 􀀀 n1 ) (n2 􀀀 n1 ) + m2); (2.67) come X+1 n1=􀀀1 X+1 n2=􀀀1  (n2 􀀀 n11)2 + x2 ; (2.68) dove x2 = n1 22 2+m2. Calcoliamo la sommatoria su n2 tramite trasformazione di Sommerfeld-Watson. Dal teorema dei Residui X+1 n􀀀1 [n2 + x2]􀀀s = I P n Cn dz 2i  tan(z)(z2 + x2)􀀀s; (2.69) dove Cn è un cerchio che circonda il polo a z = n in senso orario. Il contorno può essere deformato senza contenere nessuna nuova singolarità all'interno delle linee di contorno, C, dove la linea C+, che va da 1+ i a 􀀀1 + i, è connessa smoothly con la linea C􀀀, che va da 􀀀1􀀀i a 1􀀀i. Altrimenti possiamo scegliere di chiudere i contorni C+ e C􀀀, rispettivamente, sopra e sotto il semipiano immaginario, lungo un cerchio di raggio innito. Notiamo che l'integrando ha poli isolati nel piano complesso nei punti z = ix. Facendo la seguente sostituzione Per Im(z) > 0; cot(z) i = 2eiz eiz 􀀀 e􀀀iz 􀀀 1 Per Im(z) < 0; cot(z) i = 􀀀 2eiz eiz 􀀀 e􀀀iz 􀀀 1 (2.70) otteniamo X+1 n2  (n2 􀀀 n11)2 + x2􀀀s = I C+ dz  eiz eiz 􀀀 e􀀀iz 􀀀 1 2   (z 􀀀 n11)2 + x2 􀀀s + + I C􀀀 dz  􀀀 e􀀀iz eiz 􀀀 e􀀀iz + 1 2  (z 􀀀 n11)2 + x2 􀀀s (2.71) Anche in questo caso, calcoliamo gli integrali nell'equazione (2.71) in due parti 61 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA  I1(s; x) = 1 2 Z C􀀀 dz 􀀀 Z C+ dz  (z 􀀀 n11)2 + x2]􀀀s = = x􀀀2s+1 Z +1 􀀀1 du (u2 + 1)􀀀s : (2.72) Ponendo 8>< >: t = u2 dt = 2udu p t = u , otteniamo I1(s; x) = x􀀀2s+1 Z +1 0 dt t􀀀1 2 (1 + t)s (2.73) Sapendo che B(p; q) = R +1 0 tp􀀀1 (1+t)p+q = 􀀀(p)􀀀(q) 􀀀(p+q) , allora l'integrale in (2.73) è I1(s; x) = B 1 2 ; s 􀀀 1 2  = sen(s) p  􀀀  1 􀀀 s  􀀀  s 􀀀 1 2  (2.74) Eettuando la derivata e i limiti, otteniamo lim s!0 lim m!0 d ds  x􀀀2s+1 sin(s) p  􀀀  1 􀀀 s  􀀀  s 􀀀 1 2  = = lim m!0   p  􀀀  1  􀀀 1 2  x  = = lim m!0 􀀀 􀀀2x  = = 􀀀2n12: (2.75) DPobbiamo ora considerare la sommatoria per n1. Sapendo che (􀀀s) = n ns = 􀀀Bs+1 s+1 , otteniamo 􀀀4  2 X+1 n1=0 n1 = 􀀀4  2 (􀀀1) = 4  2 B2 2 = 1 3  2; (2.76) dove B2(q) = q2 􀀀 q + 1 6 .  Consideriamo l'integrale nel semipiano superiore I2(s; z) = Z C+ dz eiz eiz 􀀀 e􀀀iz h (z 􀀀 n11)2 + x2 i􀀀s (2.77) Il risultato dell'integrale è noto [25] e denendo il contorno intorno al taglio che parte da x e va a +1 I2(s; y) = 􀀀2 sin(s) Z +1 x dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y h (y + in11)2 􀀀 x2 i􀀀s : (2.78) 62 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Deriviamo d ds I2(s; y) = 􀀀 2  cos(s) Z +1 x dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y h (y + in11)2 􀀀 x2 i􀀀s 􀀀 􀀀 2  sin(s) Z +1 x dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y h (y + in11)2 􀀀 x2 i􀀀s ln  (y + in11)2 􀀀 x2 (2.79) e facciamone il limite lim s!0 d ds I2(s; y) = 􀀀2  Z +1 x􀀀in11 dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y = 􀀀2 ln h 1 􀀀 e􀀀2(x􀀀in11) i : (2.80) Similmente, per il semipiano inferiore, denendo il contorno intorno al taglio che va da 􀀀x a 􀀀1, abbiamo I3(s; y) = 􀀀 Z C􀀀 dz e􀀀iz eiz 􀀀 e􀀀iz h (z 􀀀 n11)2 + x2 i􀀀s = 􀀀2 sin(s) Z +1 x dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y h (z + n11)2 􀀀 x2 i􀀀s (2.81) Anche in questo caso, deriviamo e facciamo il limite, così da ottenere lim s!0 d ds I3(s; y) = 􀀀2  Z +1 x􀀀in11 dz e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y = = 􀀀2 ln h 1 􀀀 e􀀀2(x􀀀in11) i : (2.82) Quindi in denitiva abbiamo S = 􀀀 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1􀀀e2in11 i 􀀀 lim m!0 h m+2 ln(2m) 􀀀 2 ln  1􀀀e􀀀2m i (2.83) Sviluppando e􀀀2m  1 􀀀 2m, otteniamo S = 􀀀 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1 􀀀 e2in11 i 􀀀 lim m!0 h m + 2 ln(2m) 􀀀 2 ln(1 􀀀 1 + 2m) i = = 􀀀 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1 􀀀 e2in11 i : (2.84) Considerando anche il contributo di (2.66), segue eln(2 2)􀀀 2 3 +4 P+1 n1=1 ln[1􀀀exp(2in11)] = 2 2 e􀀀2 3 Y+1 n=1 (1 􀀀 qn1)4 (2.85) 63 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA dove q = e2i . Quindi il determinante di 􀀀gab@a@b vale [23] det 0 (􀀀gab@a@b) =  2 2 e􀀀2=3jf(e2i )j4 (2.86) dove f(e2i ) = Q1 n=1(1 􀀀 e2i ). Poiché ogni  nel semipiano immaginario superiore può essere ottenuto come una trasformazione modulare agente su qualche  2 F, rimane una sola doppia invarianze di gauge 1 ! 􀀀1 2 ! 􀀀2 (2.87) cosicché order(~D) = 2. Considerando d = 26, l'equazione (2.50) può essere riscritta Z = Z ddd2 VGCVW Y  L  (detN) 1 2 ( Z d2 p g)14(detQab)􀀀1 2 (2)13 det(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀13: (2.88) Dalle equazioni (2.55) e (2.86), otteniamo Z = Z d2 Y  L  det(2+4C) 1 2 (det(2)) det(T)( 2 2 )􀀀14e42(2)􀀀13T􀀀13(jf(e2i )j4)􀀀12 (2.89) Sapendo che il determinante di una costante è un contributo a 2 e può essere eliminato [23], otteniamo inne Z = T13 Y  L Z F d2 4 2 2 e42(22)􀀀12jf(e2i )j􀀀48: (2.90) 2.2.2 Quantizzazione nel cono di luce Consideriamo ora la quantizzazione nel cono di luce. Variando l'azione di Polyakov rispetto ad X e ab, ricaviamo le azioni del moto dei campi di stringa X e della metrica gab:  S X = T Z dd@a  􀀀 p 􀀀

ab@bX  X 􀀀 T Z d p 􀀀 @XX = =0 : (2.91) 64 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA per le stringhe chiuse le coordinate che cancellano i termini di bordo sono 8>< >: X0 (; 0) = X0 (; ) X(; 0) = X(; )

ab(; 0) = (; ): (2.92) Quindi dall'equazione (2.91) abbiamo @a  p 􀀀

ab@bX  = 0: (2.93) La soluzione dell'operazione (2.93) può essere resa più immediata se si sceglie una gauge opportuna. Grazie all'invarianza sotto dieomorsmi dell'azione, possiamo introdurre un sistema di coordinate tali da rendere la metrica piatta a meno di un fattore conforme. infatti

ab = ab e =  􀀀1 0 0 1  e: (2.94) Questa metrica è detta Gauge Conforme. Perciò possiamo scrivere le equazioni del moto come  @2 @2 􀀀 @2 @ 2  X(; ) = 0: (2.95) L'equazione (2.95) è l'equazione delle onde bidimensionale, la cui soluzione è X(; ) = X L( + ) + X R( 􀀀 ): (2.96) Dalle condizioni di periodicità (2.92), otteniamo la soluzione per X L e X R X L( + ) = x 2 + 0 p( + ) + i p 2 0 2 X n6=0 ~  n e􀀀2in(+) X R( 􀀀 ) = x 2 + 0 p( 􀀀 ) + i p 2 0 2 X n6=0  n e􀀀2in(􀀀): (2.97) Quindi l'equazione (2.96) si può scrivere come X = x + 2 0 p + i p 2 0 2 X n6=0  n  n e􀀀2in(􀀀) + ~  n e􀀀2in(+)  : (2.98) Notiamo che X e P sono la posiazione e l'impulso del centro di massa della stringa, mentre ~  e ~  sono le ampiezze dei modi di Fourier sinistro e destro.  S  ab = T 2 p 􀀀

 1 2

 ab 􀀀 a b  @aX@bX = 0 (2.99) 65 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Il tensore energia impulso è denito come Tab = 􀀀 2 T 1 p 􀀀

S

ab =  @aX@bX 􀀀 1 2

ab@cX@cX  = 0 (2.100) Il tensore Tab gode delle seguenti proprietà 1. è simmetrico Tab = Tba 2. per l'equazione del moto (2.93) è nullo @aTab = 0 3. dall'invarianza sotto trasformazione di Weyl, ha traccia nulla Ta a = gabTab = 0 Una teoria di campo che ha un tensore energia impulso cone le proprietà precedentemente elencate è invariante conforme. L'azione (2.9) può essere riscritta come S = T 2 Z +1 􀀀1 d Z  0 d h (@tX)2 􀀀 (@X)2 i (2.101) e i vincoli (2.100) invece T11 = T00 = 1 2 ( _X 2 + X 02 ) T10 = T01 = _X X 0 = 0; (2.102) dove _X = @X @ e X0 = @X @ . Questi vincoli possono essere scritti nella forma equivalente di Fubini e Veneziano  _X  X 0 2 = 0: (2.103) Ponendo  =  , abbiamo X(+; 􀀀) = X L(+)+X R(􀀀), mentre i vincoli sul tensore Tab nelle nuove coordinate possono essere scritti come T++ = 1 2  T + T  = @+X@+X T􀀀􀀀 = 1 2  T 􀀀 T  = @􀀀X@􀀀X (2.104) Introduciamo i modi di Fourier, noti come operatori di Virasoro Lm = 1  0 Z 2 0 dT􀀀􀀀 eim(􀀀) = 1 2 X+1 􀀀1 m􀀀n  n ~L m = 1  0 Z 2 0 dT++ eim(+) = 1 2 X+1 􀀀1 ~ m􀀀n  ~ n: (2.105) 66 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Dalle condizioni (2.103) otteniamo i vincoli di Virasoro ( ~L m = 0 Lm = 0 8n 2 Z: (2.106) Questi vincoli imposti sull'hamiltoniana del sistema danno luogo alla condizione di mass-shell: dal momento canonico p = S  _X = T _X ; (2.107) possiamo scrivere H = Z  0 d  _X p 􀀀 L  = T 2 Z  0 d  _X 2 + X 02  ; (2.108) quindi H = 2 􀀀 ~L 0 + L0  : (2.109) I vincoli di Virasoro per n = 0 L0 = 1 2 X+1 n=􀀀1 􀀀n n = 0 ~L 0 = 1 2 X+1 n=􀀀1 ~ 􀀀n ~ n = 0 (2.110) implicano che H = 0. Dall'equazione (1.166) otteniamo le condizioni di mass-shell M2 = 2 0 X+1 n=􀀀1 ( 􀀀n n + ~ 􀀀n ~ n) (2.111) e di level matching X+1 n=􀀀1 􀀀n n = X+1 n=􀀀1 ~ 􀀀n ~ n: (2.112) A questo punto possiamo introdurre le coordinate del cono di luce X = X0  X1 p 2 (2.113) mentre le rimanenti coordinate Xi, con i 6= 0; 1 rimangono invariate. La simmetria locale della gauge conforme permette di ssare la cosiddetta gauge del cono di luce X+(;  ) = x+ + 2 0 p+: (2.114) 67 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Risolviamo i vincoli (2.104) esprimendo le coordinate X􀀀 in funzione delle coordinate trasverse @+X@+X = 􀀀2@+X+@+X􀀀 + (@+Xi)2 @􀀀X@􀀀X = 􀀀2@+X+@+X􀀀 + (@􀀀Xi)2: (2.115) Se sostituiamo @X+ = 0p+ nell'equazione (2.115) otteniamo 2 0 p+@+X􀀀 = (@+Xi)2 2 0 p+@􀀀X􀀀 = (@􀀀Xi)2: (2.116) Gli oscillatori nella direzione - possono essere espressi in termini di quelli trasversi m 􀀀 = 1 p 2 0p+ X+1 n=1 m􀀀n n: (2.117) Nelle coordinate di cono di luce le variabili classiche, come ad esempio le coordinate di stringa X, poiché vanno interpretate come operatori hermitiani agenti sullo spazio di Hilbert, obbediscono alle relazioni di commutazione h X(; ); P(; ) i = i( 􀀀  0 ) h x; p i = i h m; n i = h ~ m; ~ n i = mm+n  h m; ~n i = 0: (2.118) Dato che X è hermitiano, segue che 􀀀 n y = 􀀀n, cioè possiamo pensare a n come operatori di creazione, per n < 0, e distruzione, per n > 0, di oscillatori armonici. La quantizzazione richiede che gli operatori di Virasoro siano normalmente ordinati Lm = 1 2 X+1 􀀀1 : m􀀀n  n + a m;0; (2.119) cioè che tutti gli operatori di distruzione siano sulla destra. L'algebra di Virasoro è h Lm; Ln i = (m 􀀀 n) Lm+n + D 􀀀 2 12 m(m2 􀀀 1) m+n h ~L m; ~Ln i = (m 􀀀 n) ~Lm+n + D 􀀀 2 12 m(m2 􀀀 1) m+n h Lm; ~Ln i = 0: (2.120) Dai modi zero dell'equazione (2.115) otteniamo le condizioni 2p+p􀀀 = 4 0  L0 􀀀 D 􀀀 2 24  = 4 0  ~L 0 􀀀 D 􀀀 2 24  (2.121) 68 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA o, equivalentemente, 2p+p􀀀 = 2 0  L0 + ~L0 􀀀 D 􀀀 2 12  ; L0 = ~L0: (2.122) Il termine costante è dato dall'ordinamento degli operatori di Virasoro L0 e ~L0, identicando la divergenza, data dall'energia di punto zero, con un particolare valore della funzione  di Rienman, (􀀀1) = 􀀀 1 12 [26]. Estraendo da L0 e ~L0 i contributi dei momenti trasversi L0 = 0 4 pipi + N e ~L0 = 0 4 pipi + ~N ; (2.123) l'equazione (2.111) si può scrivere M2 = 2 0  N + ~N 􀀀 D 􀀀 2 12  ; ~N = N (2.124) che per D = 26 è M2 = 2 0  N + ~N 􀀀 2  ; ~N = N: (2.125) Ora è possibile studiarne lo spettro. Lo stato fondamentale (N = ~N= 0), j0; pi è un tachione con massa M2 = 􀀀 4 0 . Gli stati per N = ~N = 1 con M2 = 0, possono essere decomposti in rappresentazioni irriducibili di SO(D 􀀀 2) ed associati alle componenti siche di un tensore antisimemtrico Aij . La parte a traccia nulla hij può essere interpretata come i gradi di libertà di una particella di spin due, il gravitone, il cui campo h è associato alle uttuazioni della metrica g =  +h. La traccia ha un'interpretazione naturale come un campo scalare detto dilatone e la parte antisimmetrica è un campo di Kalb-Ramond. Quindi, come detto in precedenza, i modi di vibrazione della stringa bosonica hanno numero quantici di massa e spin crescenti. Ora vediamo come la funzione di partizione, calcolata in precedenza tramite i path integral, sia in realtà la somma delle energie di vuoto delle innite particelle che compongono lo spettro della stringa. Procediamo, quindi, considerando l'analogo calcolo in teoria dei campi. L'energia di vuoto di un campo scalare in D dimensioni, a cui corrisponde l'energia di vuoto STRINGA STRINGA Superstring String, PhysiString

matemagramma diagrammaStringaGraviSTRINGA BOSONICA pleta perché andando verso la scala di Planck1, deve esistere una teoria quantistica della gravità. La relatività, come detto, non è in grado di descriverla a causa delle violente uttuazioni quantistiche che si vericano [16] [18]. Veneziano, Nambu, Polyakov, Green, Schwarz, Witten, Polchinsky e molti altri hanno formulato una teoria in grado di conciliare la meccanica quantistica, che spiega fenomeni atomici, con la relatività generale, che, invece, spiega le proprietà di dell'universo su larga scala, nota come Teoria delle Stringhe. Si ipotizza che la Teoria delle Stringhe, contenga il Modello Standard e possa essere la teoria nale che descrive in un solo ambito tutte le forze e le particelle (Teoria del Tutto) [16]. 2.2 Funzione di partizione di stringa bosonica Le stringhe sono oggetti unidimensionali che hanno una lunghezza caratteristica dell'ordine della lunghezza di Planck. Alla struttura e al modo di vibrare di una stringa, corrispondono diverse particelle elementari, allo stesso modo in cui ad una certa vibrazione di una corda di un violino corrisponde una nota. Quindi mentre nella teoria dei campi si prende in considerazione una particella, che è una entità zero-dimensionale e che muovendosi da origine alla linea d'universo, nella teoria delle stringhe consideriamo oggetti uni-dimensionali, i quali spostandosi spazzano un area detta world-sheet o supercie d'universo Fig.( 2.1). Figura 2.1 Le stringhe possono essere aperte o chiuse. Una stringa chiusa è una stringa che non ha punti nali, come un cerchio, mentre una stringa aperta ha due punti nali 1Per lunghezza di Planck si intende la distanza alla quale la gravità diviene dello stesso ordine di grandezza delle altre interazioni. 49 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA ed è topologicamente equivalente a un intervallo lineare. La stringa risolve i problemi di divergenza ultravioletta a fronte dell'introduzione di un numero innito di particelle. La quantizzazione della Teoria di Stringa Bosonica può essere eettuata sia nello schema canonico nel cono di luce o in modo covariante, che nel formalismo dell'integrale sui cammini. 2.2.1 Quantizzazione mediante formalismo degli integrali sui cammini Al ne di studiare l'azione sul world-sheet, prendiamo inizialmente in considerazione la lagrangiana per una particella relativistica per poi generalizzarla al nostro caso. In uno spazio a D dimensioni, possiamo descrivere il moto di una particella dando la sua posizione in termini di D-1 funzioni del tempo, x(t). Anché sia valida l'invarianza di Lorentz, introduciamo il tempo proprio  , ovvero il tempo misurato da un orologio in un sistema di riferimento solidale con la particella, che descrive il moto nello spazio-tempo da D funzioni X( ). L'azione di una particella relativistica è S = 􀀀m Z d  􀀀 _X  X 1=2 (2.1) che risulta essere proporzionale alla lunghezza della linea d'universo, che coincide con quella misurata nel sistema di riferimento proprio. La variazione dell'equazione (2.1), integrando per parti, è S = 􀀀m Z d u  X (2.2) dove u = _X   􀀀 _X  _X 1=2 : (2.3) L'azione (2.1) non è lineare dato che contiene una radice quadrata e risulta, quindi, dicile da quantizzare. Inoltre non descrive particelle a massa nulla. Introduciamo un campo ausiliario e(t), in modo da ottenere S0 = 1 2 Z d  􀀀 1 e @X @ @X @  + m2 e  : (2.4) Dall'equazione del moto per e(t) otteniamo S0 e = 0 ) e = s 􀀀 _X  _X m2 ; (2.5) che sostituito nell'equazione (2.4) restituisce nuovamente la (2.1). Osservando che il momento coniugato della particella è p = @L @ _X  = 􀀀 _X  e ; (2.6) 50 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA le equazioni del moto di e equivalgono alla condizione di mass shell p2 + m2 = 0. Inoltre per m = 0 l'azione (2.4) è ancora valida. Essendo le stringhe oggetti unidimensionali, lo spazio in cui sono descritte richiede, oltre al tempo proprio  , anche un parametro aggiuntivo  che descriva la coordinata lungo la stringa. Le funzioni X( ,) descrivono le stringhe, denendo la forma del world-sheet preso in considerazione. L'azione di Nambu-Goto [17], cioè l'azione proporzionale all'area del foglio d'universo, è SNG = 􀀀T Z M dd p det gab (2.7) dove T = 1=(2 0) è la tensione di stringa ([T] = L􀀀2), 0 è la pendenza di Regge, gab = @aX@bX è la metrica indotta sul world-sheet e M indica il foglio d'universo. Esplicitando il determinante della metrica, possiamo riscrivere l'equazione (2.7) come SNG = 􀀀T Z M dd r _X  X0 2 􀀀 _X 2X02: (2.8) Notiamo che, anche in questo caso, compare una radice quadrata. Possiamo riscrivere l'azione di Nambu-Goto introducendo la metrica bidimensionale sul world-sheet [19] ab(; ), con la segnatura di Lorentz (–,+): SP = 􀀀 T 2 Z M dd p 􀀀

ab@aX@bX; (2.9) dove = det ab. La (2.9) è detta azione di Brink-Di Vecchia-Howe-Deser-Zumino o di Polyakov e come vedremo gioca un ruolo cruciale nel calcolo del path integral [20] [21]. L'azione (2.9) ha le seguenti simmetrie:  invarianza di Poincaré2 X0(; ) =  X(; ) + a

0 ab(; ) = ab(; ); (2.10)  invarianza per dieomorsmi del world-sheet X0( 0; 0) = X(; ); @0c @a @0d @b 0 cd = ab(; ); (2.11) per nuove coordinate 0 = 0(; ),  0 =  0(; ).  invarianza bidimensionale di Weyl X0(; ) = (X(; );

0 ab(; ) = e2!(;) ab(; ) (2.12) per un !(; ) arbitrario. 2Il gruppo di Poincarè è costituito dal gruppo di Lorentz e dal gruppo delle traslazioni. 51 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Vogliamo calcolare la funzione di partizione per la stringa bosonica, ovvero la Z = Z dgab dx e􀀀SP [x;g]; (2.13) dopo aver fatto la rotazione di Wick dalla metrica ab alla metrica Euclidea gab(1; 2) di segnatura (+; +). L'integrale su tutte le congurazioni (x; gab) contiene un enorme sovrastima, in quanto congurazioni collegate tra loro dalla simmetria locale diffWeyl, rappresentano la stessa congurazione sica. Per evitare ciò dobbiamo dividere per il volume del corrispondente gruppo Z = Z dgabdx VdiffWeyl e􀀀Sp ; (2.14) e utilizzare il metodo di Fadeev-Popov. Nel caso, infatti, in cui l'azione presenti delle simmetrie, esistono modi nulli, e una integrazione su tutte le congurazioni del campo darebbe 1. Il metodo di Fadeev e Popov ci permette di ssare il gauge, integrando su una curva tale che intersechi ogni classe di equivalenza di gauge una sola volta, come illustrato in Fig.( 2.2). Figura 2.2 Indichiamo con  i dieomorsmi che danno luogo alle trasformazioni di Weyl della metrica  : g ! g; g ab(0) = e2!() @c @0c @d @0b gcd(): (2.15) Possiamo denire la misura di Fadeev-Popov FP come 1 = FP (g) Z  d  (g 􀀀 g); (2.16) 52 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA dove  d  è la misura gauge invariante del gruppo diff  Weyl e con la funzione delta abbiamo imposto che gab() = g ab(). Inserendo la (2.16) in (2.14), otteniamo Z = Z  d dxdg  VdiffWeyl FP (g) (g 􀀀 g) e􀀀SP [x;g] = = Z  d dx VdiffWeyl FP (g) e􀀀SP [x0;g]: (2.17) dove abbiamo indicato con x0 le nuove coordinate dopo avere eettuato l'integrazione della delta. Sapendo che FP è gauge invariante FP (g)􀀀1 = Z [d0](g 􀀀 g0 ) = Z [d0](g 􀀀 g􀀀1􀀀0 ) = Z [d00](g 􀀀 g00 ) = FP (g)􀀀1; (2.18) come anche la misura d'integrazione [dx ] e l'azione SP [x0; g], otteniamo Z = Z [ddx] VdiffWeyl FP e􀀀SP [x;g]: (2.19) L'integrando in (2.19) dipende solo da  e, quindi, l'integrazione su  corrisponde proprio al volume del gruppo. La (2.19) è una somma su tutte le geometrie (Fig.( 2.3)): al termine di ordine g corrisponde il multitoro con g manici (Fig.( 2.3)). Figura 2.3 Siamo interessanti al caso ad 1-loop, cioè alla supercie con la topologia del toro. Possiamo pensare a un toro come un parallelogramma nel piano w, dove w = 1 + 2, con metrica d2s = dwd  w e con condizioni periodiche w  w + m + n: (2.20) Il parametro  è noto come parametro di Teichmüller o modulo del toro e si può sempre scegliere con Im( ) > 0. Il toro inoltre piastrella un reticolo generato dai vettori 1 e  . Altrimenti possiamo ssare la periodicità delle coordinate, a scapito 53 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA d(ella metrica, come illustrato in Fig.( 2.4). Scrivendo w = w1 + iw2, abbiamo w1  w1 + m + n1 w2  w2 + n2 . Deniamo w = 1 + 2 = 1 +  12 + i 22 (2.21) dove ( 1 = w1 􀀀 1 2w2 2 = 1 2w2: (2.22) Le equazioni (2.22) portano alle identicazioni 1  1 + m 2  1 + n (2.23) con metrica ds2 = jd1 + d2j2. Figura 2.4 Dobbiamo comunque dire che non tutti i valori di  nel semipiano superiore complesso corrispondono a tori inequivalenti. Piuttosto, tutti i valori relativi al gruppo modulare PSL(2; Z) = SL(2; Z)=Z2 agiscono su  come  ! a + b c + d ; (2.24) dove a; b; c; d 2 Z e ad 􀀀 bc = 1. Le trasformazioni ( S :  7! 􀀀1  T :  7!  + 1 (2.25) generano il gruppo modulare. Possiamo, quindi, denire una regione fondamentale F, mostrata in Fig.( 2.5), nella quale ogni  nel semipiano complesso positivo può essere ottenuto unicamente come una trasformazione modulare agente su qualche  2 F. 54 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Figura 2.5 Consideriamo ora x e gab funzioni periodiche di 0 < 1 < 1 e 0 < 2 < 1: ( x(1 + 1; 2) = x(1; 2 + 1) = x(1; 2) gab(1 + 1; 2) = gab(1; 2 + 1) = gab(1; 2): (2.26) Qualsiasi metrica, che rispetti in due dimensioni, si può porre nella forma ds2 = gabdadb = e()jd1 + d2j2; (2.27) attraverso una Trasformazione Generale di Coordinate, con  un numero complesso e, come già detto, Im( ) > 0. Qualsiasi variazione della metrica è pari alla somma di una trasformazione di Weyl, di una trasformazione generale di coordinate e una variazione di  [22] gab() = gab () + a;b() + b;a() + gab;i() i; (2.28) dove 1 = Re( ),2 = Im( ). Sapendo che l'integrale sulla metrica si separa in un integrale sul gruppo di Weyl, un integrale sul gruppo delle coordinate generali e un integrale su  , dobbiamo tener conto anche dello Jacobiano, di modo che [23] dg = (dd)0d2J(;  ); (2.29) dove l'apice indica la misura priva di modi nulli. Infatti le variazioni ( a() = a () = 􀀀a@a() (2.30) per a costante danno gab = 0. Deniamo le metriche per piccole variazioni nei campi 8>>>< >>>: jjgjj2 = R d2 p g(gacgbd + Cgabgcd)abcd jjjj2 = R d2 p g2 jjjj2 = R d2 p ggabab jjxjj2 = R d2 p gxx (2.31) 55 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA dove C è una costante arbitraria. Deniamo ora, implicitamente, la normalizzazione delle misure in termini degli integrali gaussiani 8>>>>>>< >>>>>>: R dge􀀀jjgjj2=2 = 1 R de􀀀jjjj2=2 = 1 R de􀀀jjjj2=2 = 1 R dxe􀀀jjxjj2=2 = 1 R d2e􀀀ii R d2p g=2 = R 2 d2g p g (2.32) dove d2 = d1d2. Considerando le condizioni (2.30), possiamo scrivere [23] dd = (dd)0d1d2 (2.33) e jjjj2 = Z d2 p g() = = Z d2 p g() 0 + Z d2 p g(􀀀a@a)(􀀀b@b) (2.34) jjjj2 = Z d2 p qgabab = = Z d2 p ggab(ab) 0 + Z d2 p ggab(ab): (2.35) Moltiplicando entrambi i lati per la quantità e􀀀jjjj2=2􀀀jjjj2=2 e integrando, otteniamo 1 = Z d1d2e􀀀1 2 R d2 p ggabab@a@b) Z (dd) 0 e􀀀jjjj2=2􀀀jjjj2=2: (2.36) Anche per lo Jacobiano J(;  ), moltiplichiamo entrambi i lati dell'equazione (2.28) per la quantità e􀀀jjgjj2=2 e integriamo, ottenendo così 1 = J(;  ) Z (dd)0d2ejjgjj2=2; (2.37) dove jjgjj2 =  ai  M 2 4   j 3 5: (2.38) La matrice M conviene scriverla come un prodotto M = J N JT (2.39) 56 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA con J = 2 4 1 0 0 􀀀Da a c 0 1 2gefgef;i 0 ik 3 5 (2.40) N = 2 4 2 + 4C 0 0 0 2c d 􀀀2Dei e c 0 2k edDe kefl ef 3 5 (2.41) JT = 2 4 1 Db 1 2gefgef;i 0 d b 0 0 0 lj 3 5 (2.42) dove c d = 􀀀c dD2 􀀀 DdDc + DcDd e iab = gab;i 􀀀 1 2gabgcd 􀀀 gcd;i. Procediamo calcolando il det(M): notiamo che il termine 􀀀2Dei e c è nullo e quindi, essendo la matrice M triangolare superiore, il determinante sarà det(M) = det(2 + 4C) det(2c d) det(kefl ef ). Nel caso del toro, poiché i simboli di Christoel sono nulli, possiamo scrivere 2c d = 2[􀀀c d@2􀀀@d@c +@c@d] = 􀀀2c d@2. Inne il termine kefl ef è kefl ef =  @kgef 􀀀 1 2 gefgcd@kgcd  gefgf  Dlg 􀀀 1 2 g g @lg   = = @kg @lg 􀀀 1 2 g @kg g @lg  􀀀 1 2 g @lg gcd@kgcd + 1 2 gcd@kgcdg @lg : Perciò il determinante dei tre termini è det(N) = det(2 + 4C) det(􀀀2c d@2) det(kefl ef ) = = det(2 + 4C) det(􀀀c d@2@kg @lg + c d@2g @kg g @lg  + c d@2g @lg gcd@kgcd􀀀 􀀀 1 2 c d@2gcd@kgcdg g g @lg ) = = det(2 + 4C) det(g @2) det( 􀀀 􀀀2c d@k@lg + c d@kg g @lg  + c dg @lgcd@kgcd􀀀 􀀀 1 2 c dgcd@kgcdg g @lg   = = det(2 + 4C)det 0 [􀀀2d c gab@a@b] 2  2 2 Inoltre det(J) = det 2 4 1 0 0 􀀀Da a c 0 1 2gefgef;i 0 ik 3 5 = 1  det  a c 0 0 ik  = 1; (2.43) allora possiamo riscrivere l'equazione (2.37) come 1 = R 2 d2 p g (detQab) 1 2 2 1 det(M) J(;  ) = = (detQab) 1 2 R d2 p g J(;  ) 1 det(M) : (2.44) 57 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Osservando che det(M) = det(J) det(N) det(JT ) = det(N), l'equazione (2.44) è 1 = (detQab) 1 2 R d2 p g det(N) 1 2 J(;  ) ) J(;  ) = R d2 p g (det(Qab) 1 2 det(N) 1 2 : (2.45) Procediamo considerando l'integrazione su x, che può essere separata come x() = x + x0 (); (2.46) dove x0() è ortogonale alla costante. Possiamo inoltre denire Z dx0 ejjxjj2=2 = R d2p g 2 1 2 : (2.47) Sapendo che dx = dxdx0 e che l'integrazione su x0 diverge, poniamo il sistema in una scatola periodica di dimensioni d e con lati di lunghezza L. Quindi otteniamo Z dxe􀀀T 2 R d2 p ggab@ax@bx = Y  L nR 2 d2p g det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b o􀀀d 2 : (2.48) Riscriviamo l'equazione (2.14) come Z = Z dgabdx VGCVW e􀀀T 2 R d2 p ggab@ax@bx = = Z (dd)0d2 VGCVW J(;  ) Y  L R 2 d2 p g det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2 : (2.49) Dall'equazione (2.45), Z è Z = Z (dd)0d2 VGCVW R d2 p g (detQab) 1 2 (det 0N) 1 2 Y  L R 2 d2 p g det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2 = = Z (dd)0d2 VGCVW Y  L  (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)􀀀1 2 (2)􀀀d 2 det 0 (􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2  : (2.50) Il volume del gruppo di Weyl è proprio R d, mentre il gruppo delle coordinate generali è la componente connessa moltiplicata per un gruppo D di trasformazioni disconnesse che lasciano invariate le condizioni (2.30). Una scelta di gauge ssa alcune delle trasformazioni e rimane invariata in un sottogruppo ~D. Il determinante di Fadeev-Popov contiene un fattore order(D)=order(~D ). Sapendo che il VGC contiene un fattore order(D), il denominatore è [23] VGCVW ! order(~D) Z d Z d: (2.51) Al ne di eliminare l'integrazione su  e  tra numeratore e denominatore dobbiamo considerare che: 58 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA  i volumi delle integrazioni complete ( R dd) e ristrette( R (dd)0d1d2) sono collegate in quanto l'intervallo d'integrazione di 1 e 2 è da 0 a 1, infatti Z dd = Z (dd)0 Z 1 0 d1 Z 1 0 d2 = Z (dd)0 (2.52)  la quantità  (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)􀀀1 2 (2)􀀀d 2 det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2  (2.53) nell'equazione (2.50) è indipendente da . Ogni dipendenza emerge dall'anomalia conforme. Questa è una proprietà locale e, a prescindere dalla topologia, vale   ln  (det 0N) 1 2 ( Z d2 p g)1+d 2 (detQab)􀀀1 2 (2)􀀀d 2 det 0(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀d 2  = = 26 􀀀 d 96 @2 + (2 􀀀 2)e; (2.54) come dimostrato da Polyakov [22]. Il primo termine si annulla nella dimensione critica d = 26, mentre nel secondo, la somma di tutti i contributi quantistici 2 può essere cancellato con una scelta appropriata di 2. Questo è naturale nella dimensione critica, poiché il gruppo di Weyl è una simmetria esatta. Quindi possiamo eliminare l'integrazione su  e  e porre () = 0 nell'equazione (2.50). Eettuando i calcoli: 8>>>>>>>>>>>>>>>< >>>>>>>>>>>>>>>: Z d2 p g = 2; detQab =  4 2 ; (det 0 N) 1 2 = (det[2 + 4C]) 1 2 (det 0 [􀀀2d c gab@a@b]) 1 2 2  2 2 ; (det 0 [􀀀2d c gab@a@b]) 1 2 = det 0 [􀀀2gab@a@b] = = det 0 (2)det 0 (􀀀gab@a@b) = = 1 2 det(2) det 0(􀀀gab@a@b); det 0 (􀀀T p g􀀀1@agabp g@b) = det 0 (􀀀gab@a@b) det(T) T : (2.55) Per calcolare il determinante di (􀀀gab@a@b), facciamo uso del metodo detto  Zeta Function Regularitation  [15]: consideriamo un operatore A con autovalori reali e positivi a1;    ; an e autofunzioni fn(x) Afn(x) = anfn(x): (2.56) 59 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Deniamo A(s) = X n 1 an s (2.57) come la  􀀀 function associata all'operatore A. Notiamo che dA(s) ds s=0 = 􀀀 X n ln(an) e􀀀san s=0 = 􀀀ln Y n an  ; (2.58) la quale possiamo scrivere anche come det(A) = Y n an = e􀀀 dA(s) ds js=0: (2.59) Nel caso che stiamo considerando, il laplaciano agisce sullo scalare come  = gab@a@b: (2.60) Le basi ortonormali per il campo scalare sono date dal set completo di autofunzioni X 0 () = X n1n2 0 an1n2 n1n2(a); n1n2(a) = 1 p 2 e2i(n22+n11): (2.61) Il set di autovalori è !n1n2 = 4 2 (gabnanb) = 42 2 2 jn2 􀀀 n1j2 (2.62) Riprendendo il metodo della zeta function regularization, ciò che dobbiamo calcolare è [15] ln det 0  Y+1 n1=􀀀1 Y+1 n2=􀀀1 !n1n2  = = ln det 0 () = X n1n2 0 ln h42  2 (n2 􀀀 n1 ) (n2 􀀀 n1 ) i : (2.63) Considerando l'equazione (2.57), abbiamo 􀀀lim s!0 d ds X n1n2 0 h42  2 (n2 􀀀 n1 ) (n2 􀀀 n1 ) i􀀀s (2.64) Il termine n1 = n2 = 0 è incluso nella somma innita, introducendo un regolatore di massa infrarosso, m, per i modi zero. Quindi ln det 0  = 􀀀lim s!0 lim m!0 n d ds h42 2 2 􀀀sX n1n2  (n2 􀀀 n1 ) (n2 􀀀 n1 ) + m2 􀀀 m2 io = = 􀀀lim s!0 lim m!0 n d ds h42 2 2 􀀀sX n1n2 􀀀 (n2 􀀀 n1 )(n2 􀀀 n1 ) + m2􀀀s 􀀀  42m2 2 2 􀀀sio (2.65) 60 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Per calcolare più facilmente l'equazione (2.65), la separiamo momentaneamente in due parti  lim m!0 lim s!0 d ds h42m2 2 2 i􀀀s = lim m!0 lim s!0 h42m2 2 2 􀀀s ln 42m2 2 2 􀀀1i = 2 ln 2 (2.66)  Mediante opportune manipolazioni algebriche, (n2 􀀀 n1 )(n2 􀀀 n1 ) = (n2 􀀀 n11)2 + n12 2, possiamo scrivere X+1 n1=􀀀1 X+1 n2=􀀀1  (n2 􀀀 n1 ) (n2 􀀀 n1 ) + m2); (2.67) come X+1 n1=􀀀1 X+1 n2=􀀀1  (n2 􀀀 n11)2 + x2 ; (2.68) dove x2 = n1 22 2+m2. Calcoliamo la sommatoria su n2 tramite trasformazione di Sommerfeld-Watson. Dal teorema dei Residui X+1 n􀀀1 [n2 + x2]􀀀s = I P n Cn dz 2i  tan(z)(z2 + x2)􀀀s; (2.69) dove Cn è un cerchio che circonda il polo a z = n in senso orario. Il contorno può essere deformato senza contenere nessuna nuova singolarità all'interno delle linee di contorno, C, dove la linea C+, che va da 1+ i a 􀀀1 + i, è connessa smoothly con la linea C􀀀, che va da 􀀀1􀀀i a 1􀀀i. Altrimenti possiamo scegliere di chiudere i contorni C+ e C􀀀, rispettivamente, sopra e sotto il semipiano immaginario, lungo un cerchio di raggio innito. Notiamo che l'integrando ha poli isolati nel piano complesso nei punti z = ix. Facendo la seguente sostituzione Per Im(z) > 0; cot(z) i = 2eiz eiz 􀀀 e􀀀iz 􀀀 1 Per Im(z) < 0; cot(z) i = 􀀀 2eiz eiz 􀀀 e􀀀iz 􀀀 1 (2.70) otteniamo X+1 n2  (n2 􀀀 n11)2 + x2􀀀s = I C+ dz  eiz eiz 􀀀 e􀀀iz 􀀀 1 2   (z 􀀀 n11)2 + x2 􀀀s + + I C􀀀 dz  􀀀 e􀀀iz eiz 􀀀 e􀀀iz + 1 2  (z 􀀀 n11)2 + x2 􀀀s (2.71) Anche in questo caso, calcoliamo gli integrali nell'equazione (2.71) in due parti 61 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA  I1(s; x) = 1 2 Z C􀀀 dz 􀀀 Z C+ dz  (z 􀀀 n11)2 + x2]􀀀s = = x􀀀2s+1 Z +1 􀀀1 du (u2 + 1)􀀀s : (2.72) Ponendo 8>< >: t = u2 dt = 2udu p t = u , otteniamo I1(s; x) = x􀀀2s+1 Z +1 0 dt t􀀀1 2 (1 + t)s (2.73) Sapendo che B(p; q) = R +1 0 tp􀀀1 (1+t)p+q = 􀀀(p)􀀀(q) 􀀀(p+q) , allora l'integrale in (2.73) è I1(s; x) = B 1 2 ; s 􀀀 1 2  = sen(s) p  􀀀  1 􀀀 s  􀀀  s 􀀀 1 2  (2.74) Eettuando la derivata e i limiti, otteniamo lim s!0 lim m!0 d ds  x􀀀2s+1 sin(s) p  􀀀  1 􀀀 s  􀀀  s 􀀀 1 2  = = lim m!0   p  􀀀  1  􀀀 1 2  x  = = lim m!0 􀀀 􀀀2x  = = 􀀀2n12: (2.75) DPobbiamo ora considerare la sommatoria per n1. Sapendo che (􀀀s) = n ns = 􀀀Bs+1 s+1 , otteniamo 􀀀4  2 X+1 n1=0 n1 = 􀀀4  2 (􀀀1) = 4  2 B2 2 = 1 3  2; (2.76) dove B2(q) = q2 􀀀 q + 1 6 .  Consideriamo l'integrale nel semipiano superiore I2(s; z) = Z C+ dz eiz eiz 􀀀 e􀀀iz h (z 􀀀 n11)2 + x2 i􀀀s (2.77) Il risultato dell'integrale è noto [25] e denendo il contorno intorno al taglio che parte da x e va a +1 I2(s; y) = 􀀀2 sin(s) Z +1 x dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y h (y + in11)2 􀀀 x2 i􀀀s : (2.78) 62 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Deriviamo d ds I2(s; y) = 􀀀 2  cos(s) Z +1 x dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y h (y + in11)2 􀀀 x2 i􀀀s 􀀀 􀀀 2  sin(s) Z +1 x dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y h (y + in11)2 􀀀 x2 i􀀀s ln  (y + in11)2 􀀀 x2 (2.79) e facciamone il limite lim s!0 d ds I2(s; y) = 􀀀2  Z +1 x􀀀in11 dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y = 􀀀2 ln h 1 􀀀 e􀀀2(x􀀀in11) i : (2.80) Similmente, per il semipiano inferiore, denendo il contorno intorno al taglio che va da 􀀀x a 􀀀1, abbiamo I3(s; y) = 􀀀 Z C􀀀 dz e􀀀iz eiz 􀀀 e􀀀iz h (z 􀀀 n11)2 + x2 i􀀀s = 􀀀2 sin(s) Z +1 x dy e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y h (z + n11)2 􀀀 x2 i􀀀s (2.81) Anche in questo caso, deriviamo e facciamo il limite, così da ottenere lim s!0 d ds I3(s; y) = 􀀀2  Z +1 x􀀀in11 dz e􀀀y ey 􀀀 e􀀀y = = 􀀀2 ln h 1 􀀀 e􀀀2(x􀀀in11) i : (2.82) Quindi in denitiva abbiamo S = 􀀀 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1􀀀e2in11 i 􀀀 lim m!0 h m+2 ln(2m) 􀀀 2 ln  1􀀀e􀀀2m i (2.83) Sviluppando e􀀀2m  1 􀀀 2m, otteniamo S = 􀀀 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1 􀀀 e2in11 i 􀀀 lim m!0 h m + 2 ln(2m) 􀀀 2 ln(1 􀀀 1 + 2m) i = = 􀀀 2 3 + 4 X+1 n1=1 ln h 1 􀀀 e2in11 i : (2.84) Considerando anche il contributo di (2.66), segue eln(2 2)􀀀 2 3 +4 P+1 n1=1 ln[1􀀀exp(2in11)] = 2 2 e􀀀2 3 Y+1 n=1 (1 􀀀 qn1)4 (2.85) 63 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA dove q = e2i . Quindi il determinante di 􀀀gab@a@b vale [23] det 0 (􀀀gab@a@b) =  2 2 e􀀀2=3jf(e2i )j4 (2.86) dove f(e2i ) = Q1 n=1(1 􀀀 e2i ). Poiché ogni  nel semipiano immaginario superiore può essere ottenuto come una trasformazione modulare agente su qualche  2 F, rimane una sola doppia invarianze di gauge 1 ! 􀀀1 2 ! 􀀀2 (2.87) cosicché order(~D) = 2. Considerando d = 26, l'equazione (2.50) può essere riscritta Z = Z ddd2 VGCVW Y  L  (detN) 1 2 ( Z d2 p g)14(detQab)􀀀1 2 (2)13 det(􀀀T p g􀀀1@agabp g@b)􀀀13: (2.88) Dalle equazioni (2.55) e (2.86), otteniamo Z = Z d2 Y  L  det(2+4C) 1 2 (det(2)) det(T)( 2 2 )􀀀14e42(2)􀀀13T􀀀13(jf(e2i )j4)􀀀12 (2.89) Sapendo che il determinante di una costante è un contributo a 2 e può essere eliminato [23], otteniamo inne Z = T13 Y  L Z F d2 4 2 2 e42(22)􀀀12jf(e2i )j􀀀48: (2.90) 2.2.2 Quantizzazione nel cono di luce Consideriamo ora la quantizzazione nel cono di luce. Variando l'azione di Polyakov rispetto ad X e ab, ricaviamo le azioni del moto dei campi di stringa X e della metrica gab:  S X = T Z dd@a  􀀀 p 􀀀

ab@bX  X 􀀀 T Z d p 􀀀 @XX = =0 : (2.91) 64 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA per le stringhe chiuse le coordinate che cancellano i termini di bordo sono 8>< >: X0 (; 0) = X0 (; ) X(; 0) = X(; )

ab(; 0) = (; ): (2.92) Quindi dall'equazione (2.91) abbiamo @a  p 􀀀

ab@bX  = 0: (2.93) La soluzione dell'operazione (2.93) può essere resa più immediata se si sceglie una gauge opportuna. Grazie all'invarianza sotto dieomorsmi dell'azione, possiamo introdurre un sistema di coordinate tali da rendere la metrica piatta a meno di un fattore conforme. infatti

ab = ab e =  􀀀1 0 0 1  e: (2.94) Questa metrica è detta Gauge Conforme. Perciò possiamo scrivere le equazioni del moto come  @2 @2 􀀀 @2 @ 2  X(; ) = 0: (2.95) L'equazione (2.95) è l'equazione delle onde bidimensionale, la cui soluzione è X(; ) = X L( + ) + X R( 􀀀 ): (2.96) Dalle condizioni di periodicità (2.92), otteniamo la soluzione per X L e X R X L( + ) = x 2 + 0 p( + ) + i p 2 0 2 X n6=0 ~  n e􀀀2in(+) X R( 􀀀 ) = x 2 + 0 p( 􀀀 ) + i p 2 0 2 X n6=0  n e􀀀2in(􀀀): (2.97) Quindi l'equazione (2.96) si può scrivere come X = x + 2 0 p + i p 2 0 2 X n6=0  n  n e􀀀2in(􀀀) + ~  n e􀀀2in(+)  : (2.98) Notiamo che X e P sono la posiazione e l'impulso del centro di massa della stringa, mentre ~  e ~  sono le ampiezze dei modi di Fourier sinistro e destro.  S  ab = T 2 p 􀀀

 1 2

 ab 􀀀 a b  @aX@bX = 0 (2.99) 65 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Il tensore energia impulso è denito come Tab = 􀀀 2 T 1 p 􀀀

S

ab =  @aX@bX 􀀀 1 2

ab@cX@cX  = 0 (2.100) Il tensore Tab gode delle seguenti proprietà 1. è simmetrico Tab = Tba 2. per l'equazione del moto (2.93) è nullo @aTab = 0 3. dall'invarianza sotto trasformazione di Weyl, ha traccia nulla Ta a = gabTab = 0 Una teoria di campo che ha un tensore energia impulso cone le proprietà precedentemente elencate è invariante conforme. L'azione (2.9) può essere riscritta come S = T 2 Z +1 􀀀1 d Z  0 d h (@tX)2 􀀀 (@X)2 i (2.101) e i vincoli (2.100) invece T11 = T00 = 1 2 ( _X 2 + X 02 ) T10 = T01 = _X X 0 = 0; (2.102) dove _X = @X @ e X0 = @X @ . Questi vincoli possono essere scritti nella forma equivalente di Fubini e Veneziano  _X  X 0 2 = 0: (2.103) Ponendo  =  , abbiamo X(+; 􀀀) = X L(+)+X R(􀀀), mentre i vincoli sul tensore Tab nelle nuove coordinate possono essere scritti come T++ = 1 2  T + T  = @+X@+X T􀀀􀀀 = 1 2  T 􀀀 T  = @􀀀X@􀀀X (2.104) Introduciamo i modi di Fourier, noti come operatori di Virasoro Lm = 1  0 Z 2 0 dT􀀀􀀀 eim(􀀀) = 1 2 X+1 􀀀1 m􀀀n  n ~L m = 1  0 Z 2 0 dT++ eim(+) = 1 2 X+1 􀀀1 ~ m􀀀n  ~ n: (2.105) 66 CAPITOLO 2. INTEGRALE FUNZIONALE DI STRINGA BOSONICA Dalle condizioni (2.103) otteniamo i vincoli di Virasoro ( ~L m = 0 Lm = 0 8n 2 Z: (2.106) Questi vincoli imposti sull'hamiltoniana del sistema danno luogo alla condizione di mass-shell: dal momento canonico p = S  _X = T _X ; (2.107) possiamo scrivere H = Z  0 d  _X p 􀀀 L  = T 2 Z  0 d  _X 2 + X 02  ; (2.108) quindi H = 2 􀀀 ~L 0 + L0  : (2.109) I vincoli di Virasoro per n = 0 L0 = 1 2 X+1 n=􀀀1 􀀀n n = 0 ~L 0 = 1 2 X+1 n=􀀀1 ~ 􀀀n ~ n = 0 (2.110) implicano che H = 0. Dall'equazione (1.166) otteniamo le condizioni di mass-shell M2 = 2 0 X+1 n=􀀀1 ( 􀀀n n + ~ 􀀀n ~ n) (2.111) e di level matching X+1 n=􀀀1 􀀀n n = X+1 n=􀀀1 ~ 􀀀n ~ n: (2.112) A questo punto possiamo introdurre le coordinate del cono di luce X = X0  X1 p 2 (2.113) mentre le rimanenti coordinate Xi, con i 6= 0; 1 rimangono invariate. La simmetria locale della gauge conforme permette di ssare la cosiddetta gauge del cono di luce X+(;  ) = x+ + 2 0 p+: (2.114) 67 2.2. FUNZIONE DI PARTIZIONE DI STRINGA BOSONICA Risolviamo i vincoli (2.104) esprimendo le coordinate X􀀀 in funzione delle coordinate trasverse @+X@+X = 􀀀2@+X+@+X􀀀 + (@+Xi)2 @􀀀X@􀀀X = 􀀀2@+X+@+X􀀀 + (@􀀀Xi)2: (2.115) Se sostituiamo @X+ = 0p+ nell'equazione (2.115) otteniamo 2 0 p+@+X􀀀 = (@+Xi)2 2 0 p+@􀀀X􀀀 = (@􀀀Xi)2: (2.116) Gli oscillatori nella direzione - possono essere espressi in termini di quelli trasversi m 􀀀 = 1 p 2 0p+ X+1 n=1 m􀀀n n: (2.117) Nelle coordinate di cono di luce le variabili classiche, come ad esempio le coordinate di stringa X

C’è Già È«Krea lì»misteri di Dio, i misteri del potere.

Ebbene, l’etica del filosofo fin dalla Grecia classica, ma soprattutto, fin dagli esordi della modernità è consistita proprio nell’indagare razionalmente questi misteri, nello spiegare, nei limiti del possibile, soprattutto la natura, la storia umana e il potere. Non è importante chi (Dio o uomo) afferma qualcosa, ma se quello che dice è pubblicamente argomentabile e giustificabile. La verità non scende più dall’alto una volta per sempre, diventa una ricerca continua che deve rimanere «insatura» o, è il caso di dire, imperfetta, non compiuta. Non si raggiungono mai risultati definitivi, ma non per questo tutto è vano o insignificante.

I lavori che implicano una qualche forma di creatività godono di uno speciale privilegio che esige una compensazione etica: tendere al meglio nell’interesse di altri. Non per tutti, lo sappiamo, il lavoro è un piacere e non a tutti tocca nella vita poterlo sceglierlo (e, oggi, averne uno).

Spesso è il caso a determinare la professione. Adam Smith, filosofo e padre della scienza economica moderna, ha osservato che le difformità tra i talenti naturali degli uomini sono dapprima minime ed è la divisione del lavoro che le accentua, per cui da bambino un filosofo non differisce da un facchino ed è solo la società che li indirizza verso occupazioni divergenti.

Chi ha ricevuto dalla lotteria naturale e sociale l’opportunità di un lavoro che lo soddisfa non dovrebbe dimenticare l’enorme spreco d’intelligenza e di vita nelle nostre società, l’esistenza di energie latenti che vengono imprigionate dalla prevedibile ripetitività e torpore mentale diffusi dai lavori ripetitivi o degradanti. Il compito difficile che ci attende, nella scuola, nell’università, nell’industria e nelle istituzioni, ma, per ciascuno, individualmente nel proprio settore di competenza, è quello di risvegliare tali energie latenti, di coniugare la fantasia con la concretezza e il senso del possibile con i vincoli della realtà.

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CREATIVITA’ —— A SARZANA DAL 31 AGOSTO AL 2 SETTEMBRE il nono Festival della Mente,dedicato alla creatività. Al Festival della Mente giuristi e psicologi sui processi creativi (di Ida Bozzi) 13 luglio 2012, di Federico La Sala

A Sarzana ritorna il Festival della Mente

l’Unità, 13.07.2012)

PIÙ DI 85 EVENTI TRA FILOSOFIA, ANTROPOLGIA E TEATRO ANIMERANNO A SARZANA DAL 31 AGOSTO AL 2 SETTEMBRE il nono Festival della Mente, l’unico in Europa dedicato alla creatività. Presentato a Genova, si aprirà con una «lectio magistralis» di Gustavo Zagrebelsky. Prevede serate con il filosofo Giacomo Marramao, l’antropologo Marc Augè, gli attori Ascanio Celestini, Marco Paolini, Giulia Lazzarini. Per la direttrice, Giulia Cogoli,«in un momento di crisi è centrale ripartire dalla cultura». Il Festival della Mente ha visto circa cinquecento eventi realizzati nelle precedenti edizioni, quasi quattrocento relatori e oltre quarantamila presenze lo scorso anno.

Al Festival della Mente giuristi e psicologi sui processi creativi

di Ida Bozzi

(Corriere della Sera, 13.07.2012)

Una delle questioni aperte in un tempo in cui i saperi (tecnologici, ma non solo) avanzano a grande velocità e richiedono una preparazione sempre più specifica, è proprio quella della fragilità della conoscenza. Di un sapere, cioè, avanzato ma diviso in mille rivoli, oppure poco attingibile per i più, nonostante le promesse del mondo globale o della Rete. A queste problematiche e a temi affini sarà dedicata la nona edizione del Festival della Mente di Sarzana (La Spezia), presentata ieri all’Acquario di Genova, che si svolgerà dal 31 agosto al 2 settembre. «Beninteso – spiega Giulia Cògoli, direttrice della rassegna – il tema di fondo dell’edizione 2012 come degli anni precedenti resta la creatività e i processi creativi; tuttavia ogni anno mi piace trovare sottotraccia i fili che uniscono tutti gli interventi, poiché gli intellettuali, nel momento in cui parlano del loro lavoro, inevitabilmente riflettono la realtà, e così danno modo di capire dove soffia il vento, che cosa sta succedendo. Ebbene, gli interventi di giuristi, filosofi, psicologi, sembrano convergere in gran parte proprio intorno alla questione della conoscenza».

A lanciare l’argomento, aprendo il Festival, sarà venerdì 31 agosto la lezione del costituzionalista Gustavo Zagrebelsky su «Il diritto alla cultura, la responsabilità del sapere», ma è soprattutto la giornata di sabato che vedrà numerosi gli interventi sul tema: la conferenza del giurista Franco Cordero si occuperà di «Fobia del pensiero», sull’atrofia indotta dall’eccesso di intrattenimento e di emozioni facili della tv, mentre il filosofo Giacomo Marramao sposterà il fuoco su «Potere, creatività, metamorfosi» e sul legame tra emancipazione umana e sapere. Un sapere che, però, spiegherà lo scrittore Erri De Luca all’incontro «La parola come utensile», non è astratto ma strumentale, e spesso è un saper fare. Mentre la massa crescente di chi «non sa» e l’idea di una rivoluzione del sapere sono i temi della lezione «La priorità della conoscenza» con cui l’antropologo Marc Augé chiuderà la giornata.

Fino a domenica, moltissimi ospiti (il programma completo è sul sito www.festivaldellamente.it), da Haim Baharier a Marco Belpoliti, da Tullio Pericoli a Ruggero Pierantoni, e 85 incontri, con incursioni nella filosofia, nella psicoanalisi, nella linguistica, nella scrittura, ma soprattutto, e ci pare un elemento saliente dell’edizione di quest’anno, nel teatro. «Pubblichiamo il libro di Luca Ronconi sul suo fare teatro – spiega la Cògoli, alludendo al libro Teatro della conoscenza di Ronconi e di Gianfranco Capitta, edito da Laterza per la collana dei Libri del festival della mente –, ma in effetti in questi anni sono aumentate le proposte dedicate al teatro, anche perché in una rassegna sui processi creativi ci piace presentare nuovi spettacoli e work in progress».

Così, oltre a incontri e lezioni con ospiti come Ronconi o Ascanio Celestini (1° settembre), o il drammaturgo argentino Rafael Spregelburd (domenica 2), la rassegna propone quest’anno anche molti spettacoli serali, come «Muri» di Renato Sarti con Giulia Lazzarini (il 31 agosto) oppure il recital «Toledo Suite» con Enzo Moscato (il 1° settembre), per finire con il nuovo spettacolo di Marco Paolini. L’autore del recente Ausmerzen (Einaudi) chiuderà infatti il festival domenica sera con il suo «Uomini e cani. Dedicato a Jack London».

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CREATIVITA’: KANT E LA CRITICA DELLA SOCIETA’ DELL’UOMO A “UNA” DIMENSIONE. —LA FORMULA DELLA CREATIVITA’. E’ l’effetto noto come «serendipità» 11 aprile 2012, di Federico La Sala

La formula della creatività: impazienza e niente abitudini

di Giulio Giorello (Corriere della Sera, 08.04.2012)

«Ben più di tutti i tomi di Aristotele» tre «piccole invenzioni» hanno cambiato il mondo, diceva all’inizio del Seicento Francesco Bacone: la stampa, la mussola e la polvere da sparo. Le ultime due venivano dalla Cina, nel caso di Gutenberg, l’inventore della stampa, gli era bastato guardare ben più vicino: l’idea del torchio gli era venuta dai congegni usati per spremere il vino.

Semplice trovata, almeno col senno di poi. Come mai non era venuto in mente a nessuno prima?

È l’affascinante enigma di come lavori la nostra immaginazione creativa. Nella sua ultima fatica Jonah Lehrer, firma di Wired e di The New Yorker nonché autore di libri piuttosto fortunati anche da noi (come lo stimolante Proust era un neuroscienziato, Codice edizioni), raccoglie una serie di racconti meravigliosi circa scoperte e invenzioni proprio per capire «come funziona la nostra creatività» (Imagine. How Creativity Works, uscito sia negli Usa sia in Inghilterra).

L’immaginazione sarà sì una sorta di lampadina che si accende nella testa, ma tutto ciò non avviene nel vuoto; la luce dell’intelligenza illumina un mondo, e quel che conta davvero è il punto particolare da cui ciò avviene. Lehrer cita David Hume: una innovazione è anzitutto «un modo nuovo di ricombinare» cose note.

Tra gli esempi che l’autore elenca per questa sua formula della creatività, «mescolare in modo inedito ciò che ci era familiare», ce ne sono molti che riguardano la nostra pratica quotidiana. Prendiamo il post-it. È emerso grazie all’insofferenza provata da Arthur Fry, ingegnere della 3M, che si trovava sempre impacciato dal tradizionale segnalibro del suo libro di inni da cantare in chiesa: si sfilava via e cadeva per terra, proprio al momento in cui c’era bisogno della pagina appropriata! Fry si era però ricordato di una colla che un suo collega aveva appena sperimentato, così «delicata» che bastava un piccolo strappo per separare due fogli di carta appiccicati.

In altri casi occhio attento e memoria pronta possono venire aiutati anche da una piccola dose di ignoranza. Lehrer racconta di come Ruth Handler, della Mattel, trovò la celebre Barbie: guardando in una vetrina di una tabaccheria di una città della Svizzera tedesca e restando colpita da una bambolona dai capelli biondo platino. Non sapendo la lingua, Ruth non si accorse che si trattava di un oggetto sexy per adulti, e ne fece, alle giuste proporzioni, un giocattolo per bambine destinato a rimpiazzare le bamboline di una volta.

Non capita solo con le cose di uso quotidiano. Galileo le sorprese più affascinanti doveva trovarle guardando in quel cannocchiale che un ignoto inventore aveva escogitato. Galileo fu innovatore soprattutto nell’utilizzo dello strumento, che puntò verso i cieli, invece di servirsene su questa Terra. La sua audacia doveva venir ricompensata dalla scoperta dei satelliti di Giove, che sorprese per primo lui stesso.

È l’effetto noto come «serendipità» che però non sperimenteremmo mai se non vivessimo in società in grado di accogliere le novità portate da migranti e stranieri. Ogni «formula» della creatività deve includere curiosità e anticonformismo, insieme all’impazienza per ogni vecchia formula che pretenda di imbrigliare l’immaginazione.

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CREATIVITA’: KANT E LA CRITICA DELLA SOCIETA’ DELL’UOMO A “UNA” DIMENSIONE. —– Sebben che siamo donne non ci fa paura la filosofia. La “rabbia” di Sally Haslanger del Mit (di Franca D’Agostini). 25 marzo 2012, di Federico La Sala

Sebben che siamo donne non ci fa paura la filosofia

Il «pensiero femminile» è socialmente discriminato: un condizionamento negativo

La “rabbia” di una filosofa americana del Mit: in questo campo siamo discriminate, molte di noi costrette a lasciare

di Franca D’Agostini (La Stampa, 25.03.2012)

Sally Haslanger è una delle più brillanti filosofe americane: in un articolo su Hypathia confessa che da quanto è arrivata al Mit, nel ’98, si è più volte domandata se non fosse il caso di lasciare la filosofia “C’ è in me una rabbia profonda. Rabbia per come io sono stata trattata in filosofia. Rabbia per le condizioni ingiuste in cui molte altre donne e altre minoranze si sono trovate, e hanno spinto molti a lasciare. Da quando sono arrivata al Mit, nel 1998, sono stata in costante dialogo con me stessa sull’eventualità di lasciare la filosofia. E io sono stata molto fortunata. Sono una che ha avuto successo, in base agli standard professionali dominanti». S’inizia così «Changing the Ideology and Culture of Philosophy», un articolo di Sally Haslanger, una delle più brillanti filosofe americane, apparso su Hypathia .

C’è un problema, che riguarda le donne e la filosofia: inutile negarlo. «Nella mia esperienza è veramente difficile trovare un luogo in filosofia che non sia ostile verso le donne e altre minoranze», scrive Haslanger. E se capita così al Mit, potete immaginare quel che succede in Italia. È facile vedere che, mentre in tutte le facoltà le donne iniziano a essere presenti (anche se rimane il cosiddetto «tetto di cristallo», vale a dire: ai gradi accademici più alti ci sono quasi esclusivamente uomini), in filosofia la presenza femminile scarseggia.

Non sarà forse che le donne sono refrattarie alla filosofia, non la capiscono, non la apprezzano? Stephen Stich e Wesley Buchwalter, in «Gender and Philosophical Intuition» (in Experimental Philosophy, vol. 2), hanno riproposto il problema, esaminandolo nella prospettiva della filosofia sperimentale: una tendenza filosofica emergente, che mette in collegamento le tesi e i concetti filosofici con ricerche di tipo empirico (statistico, neurologico, sociologico, ecc). La prima conclusione di Stich e Buchwalter è che effettivamente sembra esserci una «resistenza» del «pensiero femminile» di fronte ad almeno alcuni importanti problemi filosofici. Stich e Buchwalter si chiedono perché, e avanzano alcune ipotesi, ma non giungono a una conclusione definitiva.

Le femministe italiane di Diotima avrebbero pronta la risposta: la filosofia praticata nel modo previsto da Stich e compagni è espressione estrema del «logocentrismo» maschile, dunque è chiaro che le donne non la praticano: sono interessate a qualcosa di meglio, coltivano un «altro pensiero». Ma qui si presenta un classico problema: in che cosa consisterebbe «l’altro pensiero» di cui le donne sarebbero portatrici? Se si tratta per esempio di «pensiero vivente», attento alle emozioni e alla vita, come a volte è stato detto, resta sempre da chiedersi: perché mai questo pensiero sarebbe proprio delle donne? Kierkegaard

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«È»»»­là. È»»èvento.CREA LA’ ’»kreionty»»»». Kreator»»Dio «creator»: vi è«crea ex nihilontology»È Già-creatricevento evento Già Al di là EVENTONTOLOgrammatematica sul traghetto di Poincaré Mente geniale, matematica sul traghetto di Poincaré matematico russo Grigori Perelman, di ritirare la medaglia Fields, l’equivalente del premio Nobel per la matematica. Gli bastavano la soddisfazione e la gloria di aver associato il suo nome alla dimostrazione di uno dei più complessi problemi della matematica moderna: la «congettura di Poincaré». Lo studioso francese l’aveva enunciata nel 1904, nell’ambito delle sue ricerche di topologia.

Nata nel Settecento, la topologia studia le proprietà geometriche invarianti a trasformazioni molto generali. Immaginiamo una massa di plastilina: possiamo operare su di essa in tantissimi modi, dandole infinite forme; se evitiamo però di strapparla, o di forarla, essa conserverà alcune proprietà, quali il numero di dimensioni o quello dei «buchi». Per questo motivo la superficie esterna di un cubo è topologicamente equivalente a quella di un pallone da rugby, non a quella di una ciambella.

Poincaré (1854-1912) si propose di ricostruire gli spazi a partire dagli invarianti, contribuendo in modo decisivo alla comprensione del concetto stesso di invariante e segnando la strada per molta matematica successiva. La trasformazione della vecchia analysis situs nella moderna topologia non costituisce però che uno dei molti contributi di Poincaré, la cui opera svolgerà, con quella di Hilbert, un ruolo cruciale nel «traghettare» la matematica ottocentesca nel nuovo secolo.

Sua fu la soluzione negativa, nel 1887, del cosiddetto «problema dei tre corpi» (ovvero come descrivere in modo analitico il moto di tre o più corpi soggetti alla legge di Newton e in moto attorno al comune centro di gravità); fu lui a utilizzare per primo le geometrie non euclidee per risolvere problemi di analisi complessa; e fu lui ad avanzare, nello stesso anno, una teoria equivalente alla relatività speciale proposta da Einstein nel 1905.

La sua produzione è così ricca da scoraggiare gli sforzi tesi a offrirne un quadro completo. Ci prova ora Jeremy Gray: il suo Henri Poincaré. A Scientific Biography, uscito da pochi giorni, è il primo tentativo, riuscito molto bene, di presentare in un’unica sintesi i contributi di Poincaré alla matematica, alla fisica e alla filosofia. La sua attenzione non è tanto rivolta all’uomo, quanto allo scienziato e intellettuale impegnato (celebre fu il suo intervento sul caso Dreyfus). Gray riesce così a dare corpo, attraverso la lente di una mente prodigiosa, alla natura stessa della matematica.

Contrariamente a quanto di solito si crede, infatti, essa ha solo marginalmente a che fare con i numeri: si occupa in realtà di astrazioni, di strutture, di intrecci nascosti. I progressi più significativi non si misurano con la dimostrazione di teoremi, ma con la costruzione di «ponti» fra ambiti che si pensavano separati. E in questo Poincaré fu un grandissimo maestro.

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CREATIVITA’: KANT E LA CRITICA —– HENRI POINCARE’. La formula del pensiero. Cari scienziati, affidatevi all’intuizione creativa (di Piergiorgio Odifreddi). 22 novembre 2012, di Federico La Sala

Tornano in libreria i saggi fondamentali del matematico e fisico francese Henri Poincaré, morto cento anni fa

La formula del pensiero

Cari scienziati, affidatevi all’intuizione creativa

di Piergiorgio Odifreddi (la Repubblica, 22.11.2012)

Il francese Henri Poincaré, del quale si celebra nel 2012 il centenario della morte, fu uno dei due massimi matematici della sua epoca, insieme al tedesco David Hilbert. Fra gli innumerevoli contributi che egli diede alla matematica, il più singolare fu uno studio su un problema apparentemente futile, relativo alla stabilità del Sistema Solare «alla lunga». L’apparente futilità deriva ovviamente dal fatto che, come disse una volta Maynard Keynes, «alla lunga saremo tutti morti»: dunque, non ci importerà molto di cosa accadrà al Sistema Solare, o a qualunque altra cosa.

La scoperta più importante che Poincaré fece al riguardo fu che già il comportamento di un sistema di tre corpi è insolubile, instabile e caotico, benché si conoscano esattamente le forze in gioco. Il che permette infinite descrizioni approssimate, scientifiche o letterarie, dei rapporti attrattivi fra tre corpi, fisici o biologici; spiega perché questi loro rapporti invariabilmente degenerino, e rende impossibile prevedere dove andranno a parare o che piega prenderanno: appunto come nella vita (extra) coniugale. L’aggettivo «caotico» deriva ovviamente da «caos», un concetto che arriva da lontano. Nella Teogonia di Esiodo, Chaos è un abisso sotterraneo dal quale emersero Gaia ed Eros: la Terra e l’Amore o, se si preferisce, la materia e l’energia. Ma in origine chaos significava semplicemente «fenditura» o «apertura», e indicava lo spazio atmosferico situato tra cielo e terra.

Solo in latino il termine «caos» acquistò il significato di ammasso confuso di materia, un esempio del quale era il disordine cosmico da cui il Demiurgo trae l’ordine nel Timeo platonico, o nel libro della Genesi ebraico. Questo è il significato con cui lo si usa ancor oggi nel linguaggio comune, ma il caos scoperto da Poincaré è di tipo diverso: non emerge dal disordine, ma dall’ordine, ed è provocato dal fatto che piccoli cambiamenti iniziali possono produrre grandi variazioni finali. Il risultato è che gli effetti diventano comunque indeterministici, benché le cause rimangano perfettamente deterministiche: per questo si parla appunto, ossimoricamente, di «caos deterministico».

È chiaro che a un matematico che si confronti con situazioni del genere, ogni professione di fede nel calculemus diventa sospetta, per non dire semplicemente ridicola. E così fu appunto per Poincaré che, nei saggi raccolti nel 1902 in La scienza e l’ipotesi, e nel 1905 e 1908 nei suoi due seguiti, Il valore della scienza e Scienza e metodo, sferrò un attacco a tutto campo alla concezione della matematica allora imperante. Quella proposta, da un lato, dalla logica di Giuseppe Peano e Bertrand Russell e, dall’altro lato, dalla concezione assiomatica del già citato David Hilbert.

Il motto di Poincaré era: «Con la logica si dimostra, con l’intuizione si inventa». Ovvero, per dirla alla Kant: «La logica senza intuizione è vuota, e l’intuizione senza la logica è cieca». E il richiamo a Kant, sia nel motto che nell’uso del termine «intuizione », non è affatto casuale. Poincaré riteneva infatti, diversamente da Russell, che Kant avesse ragione a credere che l’aritmetica fosse sintetica a priori e non analitica: cioè, non riconducibile alla sola logica, come poi confermerà Kurt Gödel nel 1931.

La geometria, invece, secondo Poincaré era convenzionale. Se infatti fosse stata a priori, non se ne sarebbe potuta immaginare che una: ad esempio, quella euclidea, come pensava appunto Kant, con una posizione che era stata minata dalla scoperta della geometria iperbolica. La scelta fra le varie geometrie non era comunque una questione di verità, ma di utilità e comodità: allo stesso modo, non ha senso chiedersi, fra vari sistemi di misura o di riferimento, quale sia quello giusto.

Ritornando alla logica, di essa Poincaré non aveva certo una grande opinione. Ridicolizzava le sue pretese di concisione, dicendo: «Se ci vogliono 27 equazioni per provare che 1 è un numero, quante ce ne vorranno per dimostrare un vero teorema? ». E a Giuseppe Peano che proclamava, nel suo poetico e maccheronico latino: Simbolismo da alas ad mente de homo, «il simbolismo dà ali alla mente dell’uomo », ribatteva: «Com’è che, avendole ali, non avete mai cominciato a volare?».

Al massimo Poincaré ammetteva che la logica potesse servire a controllare le intuizioni, perché obbligava a dire tutto ciò che di solito si sottintende: un procedimento certo non più veloce, ma forse più sicuro. Questo lo sapeva per esperienza, visto che nella memoria sul problema dei tre corpi, che aveva presentato nel 1889 per il «premio Oscar» messo in palio dall’omonimo re di Svezia e Norvegia, aveva sottointeso un po’ troppo: trovò un errore dopo che essa era già stata pubblicata, e gli toccò pagare le spese di correzione, che ammontarono a una volta e mezza il premio che aveva incassato.

Quanto all’assiomatizzazione, per Poincaré essa non era che un rigore artificiale, sovraimposto all’attività matematica quand’essa era ormai stata effettuata e conclusa: fra l’altro, solo temporaneamente, perché per lui nessun problema era mai definitivamente risolto, ma soltanto più o meno risolto. La finzione con la quale si presenta invece la matematica come un processo ordinato, che parte dagli assiomi e arriva ai teoremi, gli sembrava analoga alla leggendaria macchina di Chicago, nella quale i maiali entrano vivi e ne escono trasformati in prosciutti e salsicce.

Questo è certamente il modo in cui i matematici e i salumieri presentano la loro attività al pubblico ingenuo, ma la realtà è diversa. Per limitarsi ai primi produttori, basta l’esempio di Archimede, che aveva tradotto e tradito i suoi processi mentali dietro dimostrazioni analitiche e logiche. Ma li aveva trovati con un metodo sintetico ed euristico che era andato perduto, e fu ritrovato soltanto nel 1906 da uno studioso tedesco, su un palinsesto della Biblioteca di Costantinopoli.

Poincaré non aveva comunque bisogno di rifarsi all’esperienza di Archimede, perché gli bastava la sua. Come abbiamo già accennato, egli era infatti uno dei due massimi matematici della sua epoca, insieme a Hilbert: uno status che era stato loro riconosciuto non solo con l’affidamento dei discorsi di apertura ai primi due Congressi Internazionali di Matematica, nel 1897 e nel 1900, ma anche con l’assegnazione degli unici due premi Bolyai della storia, nel 1905 e nel 1910.

E l’esperienza di Poincaré gli suggeriva che i suoi risultati più famosi, come lui stesso raccontò, gli erano venuti con ispirazioni improvvise: dopo aver bevuto una tazza di caffè, sul predellino di un autobus sul quale stava salendo, passeggiando sulla spiaggia, attraversando la strada... In momenti, cioè, in cui l’inconscio aveva preso le redini del pensiero, dopo che a lungo e consciamente questo si era concentrato sui problemi da risolvere.

La cosa era confermata dalle sue abitudini di lavoro, studiate dallo psicologo Toulouse nel 1897. Esse consistevano nel concentrarsi soltanto quattro ore al giorno, dalle 10 alle 12 e dalle 17 alle 19, lasciando la mente vagare nel resto del tempo. E nello scrivere senza piani precisi, non sapendo dove sarebbe andato a parare: se l’inizio gli risultava difficile, abbandonava l’argomento; altrimenti procedeva in esplosioni creative che produssero, in quarant’anni, cinquecento lavori di ricerca e una trentina di libri (tra i quali un romanzo giovanile).

Ne La scienza e l’ipotesi, in particolare, egli raccolse le sue prime incursioni sui fondamenti della matematica e della scienza. Per lui si trattava solo di un divertente diversivo, rispetto alla ricerca matematica e scientifica, ma anche a distanza di un secolo i suoi saggi divulgativi non hanno perduto freschezza e leggibilità. Anzi, rimangono più freschi e leggibili di quelli fondazionali dei suoi rivali Russell e Hilbert, le cui concezioni oggi sono ridotte a polverose macerie, distrutte dal terremoto del 1931 provocato dai teoremi di Gödel.

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CREATIVITA’: KANT E LA CRITICA —– Non c’è scienza senza etica (di Henri Poincaré) 17 aprile 2016, di Federico La Sala

Henri Poincaré (1854-1912)

Non c’è scienza senza etica

di Henri Poincaré (Il Sole-24 ore, Domenica, 17.04.2016)

Il rispetto dei fatti e l’attacco ai pregiudizi, l’amore per la verità e per il lavoro collettivo sono una vera palestra per la moralità umana

Spesso, nell’ultima metà del XIX secolo, si è sognato di creare una morale scientifica. Non ci si accontentava di vantare le virtù educative della scienza, i vantaggi che l’animo umano ricava per il proprio perfezionamento dal guardare in faccia la verità; si contava sul fatto che la scienza mettesse le verità morali al di sopra di ogni contestazione, così come ha fatto per i teoremi di matematica e per le leggi enunciate dai fisici.

Dall’altro lato, c’erano alcuni che della scienza pensavano tutto il male possibile, e in essa vedevano una scuola d’immoralità. Non soltanto essa dà troppo spazio alla materia, levandoci il senso del rispetto (perché rispettiamo soltanto ciò che non osiamo guardare dritto in faccia), ma le sue conclusioni non rappresenteranno forse la negazione della morale? Come ha detto non ricordo quale celebre autore, la scienza spegnerà le luci del cielo o, per lo meno, le priverà di ciò che hanno di misterioso per ridurle allo stato di volgari lampioni.

Cosa dovremmo pensare delle speranze degli uni e delle paure degli altri? Non ho esitazione a rispondere che sono entrambe vane, le une come le altre. Non può esistere una morale scientifica, ma non può nemmeno esistere una scienza immorale. La ragione è molto semplice ed è, come dire, puramente grammaticale.

Se le premesse di un sillogismo sono entrambe all’indicativo, lo sarà anche la conclusione. Perché sia possibile mettere la conclusione all’imperativo, è necessario che lo sia almeno una delle premesse. I princìpi della scienza e i postulati della geometria sono all’indicativo, e non potrebbe essere altrimenti; lo sono anche le verità sperimentali, e alla base delle scienze non c’è e non può esserci nient’altro. Il dialettico più astuto può giocare con questi princìpi come vuole, combinandoli e impilandoli gli uni sugli altri: ciò che ne emergerà sarà sempre all’indicativo, non otterrà mai una proposizione che dica «fai questo» oppure «non fare quello», ossia una proposizione che confermi o contraddica la morale.

Ogni morale dogmatica e dimostrativa è dunque destinata fin dal principio a un sicuro insuccesso; è come una macchina in cui vi siano soltanto trasmissioni di moto e nessuna energia motrice. Il motore morale capace di mettere in funzione tutto l’insieme di bielle e ingranaggi può essere soltanto un sentimento.

La scienza può diventare creatrice o ispiratrice di sentimenti? E ciò che la scienza non arriva a fare, può forse conseguirlo l’amore che proviamo per essa?

La scienza ci mette costantemente in relazione con qualcosa di più grande di noi; ci offre uno spettacolo sempre nuovo e sempre più vasto: dietro le cose più grandi che ci mostra, ci fa indovinare qualcosa di ancora più grande. Questo spettacolo è per noi fonte di gioia, una gioia nella quale ci dimentichiamo di noi stessi, ed è per questo motivo che essa è moralmente sana.

Chi ha apprezzato, chi ha visto, anche solo da lontano, la splendida armonia delle leggi naturali, è sicuramente meglio disposto di altri a fare poco caso ai propri piccoli interessi egoistici; costui avrà un ideale che amerà più di se stesso, e questo è il solo terreno su cui si possa costruire un’etica. Per il suo ideale, egli lavorerà senza risparmiarsi e senza aspettarsi alcuna delle ricompense grossolane che invece per altri uomini sono tutto ciò che conta.

Tanto più che la passione che lo ispira è l’amore della verità; un tale amore non è forse di per sé un’etica? Quando avremo acquisito l’abitudine al metodo scientifico, alla sua precisione scrupolosa; quando avremo l’orrore di qualsiasi aggiustamento dell’esperienza; quando ci saremo abituati a temere come il peggior disonore il rimprovero di aver, per quanto innocentemente, truccato i nostri risultati, e quando questo sarà diventato per noi un tratto professionale indelebile, una seconda natura; ebbene quando tutto ciò sarà successo, non ci porteremo forse dietro in tutte le nostre azioni questa preoccupazione per la verità assoluta, fino a non comprendere più cosa spinga un uomo a mentire? Non è forse questo il modo migliore per acquisire la più rara, la più difficile di tutte le sincerità, quella che consiste nel non ingannare noi stessi?

La scienza ci rende inoltre un altro servizio: essa è un’opera collettiva, e non potrebbe essere altrimenti. È come un monumento la cui costruzione richiede secoli di lavoro, in cui ciascuno deve apporre la propria pietra, che talvolta gli costa tutta l’esistenza. La scienza ci fornisce il sentimento della necessità della collaborazione, della solidarietà dei nostri sforzi e di quelli dei nostri contemporanei, e anche di quelli di chi ci ha preceduto e di chi ci seguirà.

Se la scienza non ci appare più impotente nei confronti dei nostri cuori e non è più moralmente indifferente, non potrà forse avere anche un’influenza nociva, come ne ha una utile?

I nostri animi sono un tessuto complesso, dove i fili formati dalle associazioni d’idee si incrociano e si aggrovigliano in tutte le direzioni: tagliare uno di questi fili del tessuto ci espone a strappi del tutto imprevedibili. Non siamo stati noi a tesserlo, ma è un lascito del nostro passato; spesso, le nostre più nobili aspirazioni si trovano attaccate, senza che lo sappiamo, ai pregiudizi più antiquati e ridicoli. La scienza distrugge tali pregiudizi: è il suo compito naturale, il suo dovere. Ma non ne soffriranno le tendenze più nobili, che erano legate ad antiche abitudini?

Si sostiene che la scienza sia distruttrice; ci si spaventa dei disastri che può generare e si teme che, là dove passa, le società non possano sopravvivere. Non vi è però in questi timori una sorta di contraddizione interna? Se si dimostra scientificamente (ammesso che tale dimostrazione sia possibile) che questa o quell’altra abitudine, considerata indispensabile per la stessa esistenza delle società umane, in realtà non era così importante come si pensava e ci illudeva soltanto per la sua venerabile antichità, la moralità umana ne risulterà forse compromessa? Delle due, l’una: o l’abitudine è utile, e allora una qualsiasi scienza ragionevole non potrà dimostrare che non lo è, oppure è inutile, e allora non vi sarà nulla da rimpiangere.

Non esiste, né mai esisterà, una morale scientifica nel senso proprio del termine; tuttavia la scienza può essere, indirettamente, di aiuto alla morale; la scienza largamente intesa non può che servirla; solo la mezza scienza è qualcosa di temibile.

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CREATIVITA’ —– CONTRO KANT E L’ILLUMINISMO, LA “NUOVA” CREATIVITA’ DI ANDREA CARANDINI (L’umanesimo oltre la dea Ragione. Una nuova creatività per liberarci dalla dittatura del tecnicismo) 5 novembre 2012, di Federico La Sala

L’umanesimo oltre la dea Ragione

Una nuova creatività per liberarci dalla dittatura del tecnicismo

di Andrea Carandini (Corriere della Sera, 4.11.2012)

Mancando il seno, il neonato succhia altro e scopre una realtà separata, che riempie di simboli. Oltre ai mondi interno e esterno esiste quello del gioco, della cultura. È la dimensione immateriale dell’essere, che ha fine in sé, in cui trascendiamo la vita pratica. Qui verità superiori intensificano e rappresentano l’essere, rendendo anche la vita pratica feconda. Ma razionalismo, industrialismo e tecnicismo di ’800 e ’900 hanno mortificato l’homo ludens. Svaghi meccanici che hanno puerilizzato e distratto, ponendo la cultura nel retroscena. Priva di creatività, anche la vita materiale è diminuita, serrata nel pensiero fisso dell’economia. A soffrire di ristrettezza sono state soprattutto le scienze dello spirito. L’idea di progresso, tratta dalle scienze naturali ma inapplicabile a quelle umane, ha portato a un presente incolore. L’idea di cultura, inventata nel ’700 da Vico e Herder, è in crisi, e con essa l’idea di Bildung, formazione.

È il momento di tornare all’essenza cultura. La tradizione umanistica si è basata sul senso comune, non sul sapere dimostrato delle scienze. Infatti in costumi, morale ed estetica il caso singolo non si assoggetta a una regola. Kant ha ristretto la conoscenza concettuale all’uso della ragione, escludendo l’estetica, basata su un gusto soggettivo privo di significato conoscitivo. Si è giunti così all’Erlebnis, all’unità significativa, eccezionale, immediata: estranea alla storia. Si è trattato quindi di ridare verità alle scienze dello spirito. L’esperienza storica, infatti, è un continuum di cui l’arte è parte. Quando capiamo un testo, il suo significato si impone come avvince il bello. Nell’antichità le cose belle erano quelle che rifulgevano di per sé, per cui s’imponevano anche nel costume morale. L’antica idea di bello non si limitava all’estetica, aveva un carattere universalmente ontologico.

Dilthey si è chiesto come lo spirito arrivasse a conoscere la storia: «La prima condizione di una scienza della storia sta nel fatto che io stesso sono un essere storico e che colui che... indaga la storia è anche quello che la fa». Si è trattato poi di passare dalla fondazione psicologica (dell’Erlebnis) a quella ermeneutica delle scienze dello spirito. L’esperienza individuale vale come punto di partenza di un allargamento che trascende la ristrettezza della vita singola e abbraccia l’infinità del mondo storico. Yorck e Heidegger hanno individuato la corrispondenza strutturale tra vita e sapere, per cui comprendere è il modo originario dell’essere. Chi comprende l’altro, comprende se stesso, avendo entrambi il modo d’essere della storicità. E la storicità dell’essere è ...È

c’è’”.. L’Oltranzabgrammy EvENto c’è EvENTy. È EvENTyPSé di per sé già EVENTONTOLOGRAMmy sacerdozio alle donne?

«Non posso dire apoditticamente di sì, ma penso che dietro la prossima riunione plenaria ci sia questa impostazione».

Lei è favorevole?

«Assolutamente sì, e non sono da solo. Che la donna non possa essere prete per il fatto che Gesù era un uomo e che avesse scelto solo uomini è un argomento molto debole. È una ragione culturale, non metafisica».

Cosa porterebbero le donne?

«La vita. E tanta ricchezza. Il cambiamento è necessario, anche perché si tratta di una discriminazione inaccettabile. Per preparare il mio lavoro ho parlato con moltissime donne di diversa estrazione sociale e culturale, cristiane e non cristiane: con una sola eccezione, tutte si sono mostrate favorevoli».

C’è ancora molta resistenza?

«Sì, non solo nella curia ma anche nella base. La novità fa sempre paura. Invece un criterio importante per misurare la vitalità spirituale di una persona è la sua disponibilità al cambiamento. Resistere alla vita è un peccato perché la vita è svolgimento continuo».

Questo vale anche per la Chiesa?

«Soprattutto per la Chiesa».

Lei che tipo di sacerdote è?

«Sono un prete felice. Ho sentito una voce interiore. E quando vivi la vita come risposta a una vocazione provi la felicità. Questo non significa che non ci siano stati momenti difficili ». Il fatto di aver molto vissuto prima di prendere i voti... «... anche ora vivo intensamente».

Sì, ma il fatto di aver avuto molte storie d’amore la rende un sacerdote migliore?

«Conoscere l’amore umano aiuta a conoscere meglio l’amore divino. Oggi posso dire che mi ha aiutato, mentre nel momento in cui lo vivevo avevo l’impressione che mi facesse male. Bisogna avere il tempo per elaborare l’esperienza».

I suoi rapporti con le gerarchie vaticane non sono stati sempre sereni.

«Si riferisce ad Antonio Maria Rouco Varela, ex vescovo di Madrid? Avevamo due modi molto diversi di intendere la presenza cristiana nel mondo. Potrei sintetizzarlo in due parole: alternativa oppure dialogo. L’alternativa ti porta a una visione chiusa del cristianesimo, separato da un mondo visto come sentinella di tutti i vizi. Il dialogo significa riconoscere nel mondo anche la bellezza e il bene. Dunque non ti impongo la mia verità assoluta, ma ti invito a metterti in dialogo con me per trovare insieme la verità. Francesco è un vero pontefice perché crea ponti intorno a sé».

Oggi lei lavora nell’ospedale di Ramón y Cajal. Come si accompagna una persona a morire?

«Ascoltando veramente ciò che dice, senza giudicare intellettualmente o caricare emotivamente. Ascoltare e basta, dimenticando se stessi, che è la cosa più difficile ».

Lei ha detto che morire da cristiani non comporta meno angosce che morire da laici.

«Un momento. Se sei davvero un credente ti aiuta. Non ti aiuta quando sei cristiano di nome ma non di cuore».

Ma si può vivere una buona vita senza Dio?

«Certo che si può vivere senza un Dio. Non si vive bene senza contatto con la fonte della pienezza, si chiami Dio, essere o vita. Persone come Einstein o Rousseau non erano credenti, ma capaci di esperienze spirituali profondissime».

Lei perché scrive romanzi? Pensava a sé quando fa dire a Pessoa: “Non scrivo ciò che penso, ma scrivo per pensare”?

«Uno ritiene ingenuamente che la scrittura serva per comunicare, ma questo vorrebbe dire che io so già cosa devo dire. In realtà la scrittura è rivelazione, nel senso che rivela a te stesso quello che devi scrivere. Non è un fatto solo intellettuale, ma più profondo, direi viscerale».

Ma perché poi lei è approdato all’elogio del silenzio? Non c’è un aspetto paradossale, ossimorico, nel biografare il silenzio?

«Solo in apparenza. Parola e silenzio sono le due facce di una stessa medaglia. Le parole vere, quelle che hanno la possibilità di toccare l’altro, nascono dal silenzio, ossia dall’intimità con se stessi. E approdano al silenzio perché la cosa più bella, quando leggi un libro, è il bisogno di ricreare tu stesso quello che hai letto. In fondo la letteratura è un invito a tacere».

Il silenzio come l’unica etica possibile. Lei lo fa dire a Thomas Bernhard.

«Sì, per me è stato fondamentale. È Bernhard a teorizzare che tutto è citazione. La letteratura nasce dalla letteratura. Anche i miei romanzi nascono ai margini dei libri altrui».

Lei si definisce scrittore erotico, mistico e comico. Ma cosa tiene unite cose così diverse?

«L’ironia è lo stile, misticismo ed erotismo sono i contenuti. Sia la mistica che l’eros cercano l’unità: ricompongono la separazione nell’unione dello spirito e dei corpi. Quanto alla leggerezza, è quella che genera l’allegria del lettore».

A proposito di leggerezza, ne Il debutto fa a pezzi Kundera e molti altri. Grandi scrittori, ma piccoli uomini.

«L’ironia ha anche una funzione liberatoria. Quasi una dichiarazione di principio: ecco i miei maestri, ma non voglio restare schiacciato sotto queste bestie della letteratura ».

Ma perché introdurre il tema corporale: l’organizzatrice slovacca che si lascia possedere da tutti i grandi intellettuali?

«Ho voluto mostrare un inganno. Noi ci illudiamo di possedere libri e persone. Ma, dal momento che non è possibile padroneggiare tutta la letteratura, la cosa più facile è accedere al corpo degli scrittori».

La sua critica ricorrente verso gli scrittori è di preferire la scrittura alla vita.

«Per molti la letteratura è un modo vicario di vivere la realtà. Credo invece che ciascuno dovrebbe fare un’opera d’arte non solo della scrittura, ma anche dalla propria vita. Thomas Mann l’ha capito benissimo. Proust e Kafka, al contrario, hanno sacrificato le loro esistenze alla letteratura».

Primum vivere. Ma i sacerdoti vivrebbero meglio con una donna al loro fianco?

«I tempi sono maturi anche per questa svolta, ma è solo una mia opinione personale. E nel Pontificio Consiglio, no, di questo non si parlerà».

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CREATIVITA’: KANT E LA CRITICA DELLA SOCIETA’ DELL’UOMO A “UNA” DIMENSIONE. —– Gli ingredienti della creatività: audacia, confronto, follia e relax (di Isaac Asimov) 30 ottobre 2014, di Federico La Sala

Isaac Asimov: vi spiego la prima legge della genialità

  • Contattato dal Mit, nel 1959 il re della fantascienza scrisse questo testo inedito
  • Illustrava gli ingredienti della creatività: audacia, confronto, follia e relax

di Isaac Asimov (la Repubblica, 30.10.2014)

L’AUTORE Isaac Asimov (1920- 1992) scrisse più di 400 libri – Pubblicato con l’autorizzazione della Asimov Holdings ( Traduzione di Fabio Galimberti)

IN CHE modo una persona arriva ad avere un’idea nuova? Si può presumere che il processo di creatività, qualunque cosa sia, sia essenzialmente lo stesso in tutte le sue diramazioni e varietà, e quindi che l’evoluzione di una nuova forma d’arte, di un nuovo congegno, di un nuovo principio scientifico, comporti sempre degli elementi comuni. La cosa che ci interessa maggiormente è la “creazione” di un nuovo principio scientifico o di una nuova applicazione di un vecchio principio scientifico, ma possiamo parlare in generale.

Un metodo per indagare il problema è quello di prendere in considerazione le grandi idee del passato e capire in che modo sono state generate. Si pensi per esempio alla teoria dell’evoluzione attraverso la selezione naturale, creata da Charles Darwin e Alfred Wallace. Ci sono molte cose in comune, in questo caso.

Tutti e due avevano viaggiato in posti lontani, tutti e due avevano osservato strane specie di piante e animali e il modo in cui variavano da un posto all’altro. Tutti e due erano smaniosi di trovare una spiegazione per questo fatto, e tutti due ci riuscirono solo dopo aver letto il Saggio sulla popolazione di Malthus. Tutti e due videro che il concetto di sovrappopolamento ed “estirpazione” (che Malthus aveva applicato agli esseri umani) si adattava bene alla dottrina dell’evoluzione attraverso la selezione naturale (se applicato alle specie in generale). È evidente, quindi, che quello che serve non sono solamente persone con una buona preparazione in un certo campo, ma anche persone capaci di fare un collegamento tra l’oggetto 1 e l’oggetto 2, che normalmente non sembrano collegati.

Sicuramente nella prima metà del XIX secolo moltissimi naturalisti avevano studiato il modo in cui le specie si erano differenziate fra loro. E moltissime persone avevano letto Malthus. Ma quello di cui c’era bisogno era qualcuno che avesse studiato le specie, che avesse letto Malthus e che avesse la capacità di incrociare le due cose. È questo il punto cruciale, la caratteristica rara che dev’essere trovata. Una volta che qualcuno lo ha stabilito, il collegamento diventa ovvio.

Thomas Huxley avrebbe esclamato, dopo aver letto L’origine delle specie : «Che stupido a non averci pensato!».Ma perché non ci aveva pensato? La storia del pensiero umano induce a ritenere che è difficile pensare a un’idea, anche quando tutti i fatti sono lì, sul tavolo.

Per fare questo collegamento serve una certa audacia. E dev’essere così, perché ogni collegamento che non richiede audacia è un collegamento che può essere fatto da tante persone contemporaneamente e che non si sviluppa come un’“idea nuova”, ma come un semplice “corollario di un’idea vecchia”.

È soltanto dopo che un’idea nuova appare ragionevole. Inizialmente è il contrario: sembra il massimo dell’irrazionalità presupporre che la terra sia tonda invece che piatta, o che sia lei a muoversi invece del sole, o che un oggetto, una volta messo in movimento, necessiti di una forza per fermarsi e non di una forza per continuare a muoversi; e così via.

Una persona disposta ad andare contro la ragione, l’autorità e il senso comune è necessariamente una persona molto sicura di sé. Dato che persone di questo tipo nascono di rado, sicuramente apparirà eccentrica al resto della popolazione. Una persona eccentrica sotto un certo aspetto spesso è eccentrica anche da altri punti di vista.

Di conseguenza, la persona che ha maggiori probabilità di arrivare ad avere un’idea nuova è una persona che ha una buona preparazione nel settore in questione e che ha abitudini non convenzionali. Una volta trovate queste persone, la domanda successiva è: è meglio metterle insieme in modo che possano discutere il problema tra loro, o informare ognuno del problema e lasciare che lavorino per conto proprio?

La mia sensazione è che quando si parla di creatività sia necessario l’isolamento. Tuttavia, una riunione di persone del genere può essere auspicabile per ragioni che non hanno a che fare con l’atto di creazione in sé e per sé. Due persone non avranno mai lo stesso identico magazzino mentale di nozioni.

La mia sensazione è che lo scopo delle sessioni di elucubrazione non è escogitare idee nuove, ma educare i partecipanti a fatti e combinazioni di fatti, teorie e pensieri in libertà. Il mondo in generale disapprova la creatività, ed essere creativi in pubblico viene visto particolarmente male. Il creativo, quindi deve avere la sensazione che gli altri non troveranno nulla da ridire. Il numero ottimale di partecipanti alla riunione non dev’essere molto alto. Probabilmente sarebbe meglio organizzare una serie di riunioni a cui partecipano ogni volta persone diverse, invece di un’unica riunione con dentro tutti. Per ottenere i migliori risultati, deve esserci una percezione di informalità. La giovialità, l’uso dei nomi di battesimo, le battute, le prese in giro rilassate, secondo me sono fondamentali: non in quanto tali, ma perché incoraggiano i partecipanti a prendere parte alla follia della creatività.

L’elemento che probabilmente inibisce più di tutti è la sensazione di responsabilità. Le grandi idee del passato sono venute da persone che non erano pagate per avere grandi idee, ma che erano pagate per fare gli insegnanti, i funzionari dell’ufficio brevetti, gli impiegati pubblici, o non erano pagate affatto.

Le grandi idee sono spuntate come questioni secondarie. Sentirsi in colpa perché non ci si guadagna lo stipendio perché non si ha avuto una grande idea è il modo più sicuro, secondo me, per precludere ogni possibilità di grande idea. Pensare ai parlamentari, o ai cittadini in generale, che sentono parlare di un gruppo di scienziati che si gingillano, elaborano progetti irrealizzabili, magari raccontano barzellette sconce, tutto a spese dei contribuenti, fa venire i sudori freddi. In realtà lo scienziato medio ha sufficiente coscienza civica da non voler avere l’impressione di fare una cosa del genere nemmeno se nessuno dovesse venirlo a sapere.

Io suggerirei di assegnare ai partecipanti di una sessione di elucubrazione compiti non impegnativi da svolgere (scrivere un breve rapporto o una sintesi delle conclusioni) e pagarli per questo. In questo modo la riunione formalmente non sarebbe pagata e questo renderebbe tutto molto più rilassante. Se sono completamente rilassati, sgravati da responsabilità e impegnati a discutere cose interessanti, ed essendo per loro stessa natura persone non convenzionali, saranno i partecipanti stessi a creare strumenti per stimolare la discussione.

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KANT E LA CRITICA DELLA SOCIETA’ DELL’UOMO A “UNA” DIMENSIONE. —– LE DUE CULTURE (C. P. Snow). Armonicamente: arte e scienza a confronto (P. Greco). Rec. di Michele Emmer. 9 luglio 2014, di Federico La Sala

NOTE introduttive SUL TEMA. Le radici del problema:

ARITMETICA E ANTROPOLOGIA. UNA DOMANDA AI MATEMATICI: COME MAI “UN UOMO PIU’ UNA DONNA HA PRODOTTO, PER SECOLI, UN UOMO?” (Franca Ongaro Basaglia). Non è il caso di ripensare i fondamenti?!

Questione antropo-logica – Life out of Balance!!! – DONNE, UOMINI E MATEMATICA. Se le donne non “contano”, non sanno nemmeno contare; e gli uomini, se “contano”, altrettanto non sanno nemmeno contare!!! La punta di un “iceberg”: una “nota” del “disagio della civiltà”

GIAMBATTISTA VICO: OMERO, LE DONNE, E I “NIPOTINI” DI PLATONE (FLS)

Due culture un pensiero

Nel libro di Pietro Greco la «fusione» tra arte e scienza

Dobbiamo incoraggiare la crescita di una capacità intellettuale equivalente al bilinguismo: ascoltare, imparare e contribuire

di Michele Emmer (l’Unità, 09.07.2014)

«I CAMBIAMENTI NELL’EDUCAZIONE NON PRODURRANNO MIRACOLI. LA DIVISIONE DELLA NOSTRA CULTURA CI RENDERANNO PIÙ OTTUSI DI QUELLO CHE POTREMMO ESSERE; NON PORTEREMO ALLA NASCITA DI DONNE E UOMINI CHE CAPIRANNO IL NOSTRO MONDO COME PIERO DELLA FRANCESCA FECE CON IL SUO, O PASCAL, O GOETHE. Con un po’ di fortuna però, possiamo educare una larga parte delle nostre menti migliori, in modo tale che non siano ignari delle esperienze creative sia nell’arte che nelle scienze».

Il 6 ottobre 1956 veniva pubblicato sul New Statesman un articolo di Charles Percy Snow che poneva un problema che sarebbe poi stato sviluppato in una conferenza ed un libro tre anni dopo. Il libro era intitolato The Two Cultures (Le due culture) e metteva a confronto la cultura scientifica e quella umanistica. Toccava temi molto sentiti, tanto che il libro scatenò una lunga polemica che spinse Snow qualche anno dopo, nel 1963, a pubblicare una appendice al libro che si conclude con le parole citate all’inizio.

Nella introduzione alla edizione del 1993 Stefan Collini, professore di letteratura inglese all’università di Cambridge scrive: «Dobbiamo incoraggiare la crescita di una capacità intellettuale equivalente al bilinguismo, una capacità non solo di esercitare la lingua delle nostre rispettive specializzazioni, ma anche di ascoltare, imparare e contribuire eventualmente a più ampi approcci culturali».

Insomma stiamo parlando di interdisciplinarità, termine che indica un argomento, una materia, una metodologia o un approccio culturale che abbraccia competenze di più settori scientifici odi più discipline di studio. In particolare dei rapporti tra arte e scienza. Argomento di innumerevoli studi e ricerche che hanno dato luogo a migliaia di pubblicazioni in tutto il mondo nel corso di anni.

Il lavoro di Snow è da quando è stato pubblicato il suo volume il punto di partenza e di riferimento delle Due Culture. Non fa eccezione il libro curato da Pietro Greco Armonicamente: arte e scienza a confronto (Mimesis edizione, 2013). È un argomento arte e scienza in cui il primo problema è di restringere e selezionare i temi da trattare. Tante sono le scienze, tante sono le arti.

Il libro è diviso in capitoli, «Scienza e arte», «Scienza e letteratura», «Scienza e musica», a loro volta temi vastissimi. Per ogni tema vi sono quattro interventi più una lunga introduzione del curatore. Che parte da Leonardo Sinisgalli, poeta, scrittore, ingegnere con la passione della matematica, pubblicitario e fondatore della rivista (di arte e scienza e tecnica è il caso di dire) La civiltà delle macchine.

Di matematica ed arte si parla molto nella introduzione. Anche perché nel corso degli anni si sono mostrati molto più aperti i matematici e gli scienziati in genere verso la cultura umanistica che non gli umanisti nei confronti della scienza. Molti matematici hanno parlato dell’estetica nella ricerca matematica, come linea guida della investigazione, si trovano molte citazioni interessanti a proposito. Anche se non si può esagerarne l’importanza, visto che usualmente chi parla di arte e scienza senza essere un matematico non conosce in prima persona i meccanismi della ricerca matematica. Le citazioni diventano la fonte principale per costruire i discorsi sul tema arte e matematica.

Parole chiave: intuizione, emozione, creatività. Uno degli argomenti principe è la questione delle avanguardie artistiche e le nuove idee sulla fisica agli inizi del Novecento. Cubismo e relatività, argomento molto citato e molto poco studiato in modo dettagliato; rimando a questo proposito al volume conclusivo sull’argomento di Linda D. Henderson The Fourth Dimension, non Euclidean Goemetry and Modern Art (seconda edizione, 2013).

Tra gli argomenti trattati non potevano mancare nei diversi articoli la simmetria, i solidi Paltonici, la sezione aurea per arrivare ai frattali, che qualche anno fa hanno ridato vita alla questione della bellezza nella scienza, nella matematica. Interessante l’articolo di Danila Bertasio sullo «strappo avvenuto tra arte, scienza e tecnologia, quasi tre secoli fa, che ha comportato conseguenze generalmente positive per la scienza e la tecnica, forse negative per l’arte».

Il tema su cui gli articoli sono più puntuali e dettagliati è quello della musica. In particolare l’articolo di Silvia Bencivelli «nella nostra inclinazione per la musica c’è qualcosa di innato, su cui poi incidono la cultura, l’educazione e l’esposizione a musiche di un certo tipo. Biologia e cultura si combinerebbero così».

Per concludere ecco una citazione ovviamente, sempre da musica e scienza: «Forse è questa l’armonia del mondo del nostro tempo, profondamente diversa da quella pitagorica: non è l’epifania del numero puro e della proporzione geometrica, ma piuttosto la manifestazione di un universo di infinite possibilità».

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KANT E LA CRITICA DELLA SOCIETA’ DELL’UOMO A “UNA” DIMENSIONE. —– Perché l’Italia è diventata il Paese dell’incultura scientifica (di Carlo Rovelli) 9 luglio 2014, di Federico La Sala

VICO CON NEWTON: “NON INVENTO IPOTESI”! E CON UN OMAGGIO A SHAFTESBURY, CON LA “TAVOLA DELLE COSE CIVILI”! – VICO, PENSATORE EUROPEO – 0GGI, PIU’ DI IERI. Teoria e pratica della “Scienza Nuova”. Note per una rilettura

POLITICA, FILOSOFIA, E MERAVIGLIA.

STORIA DELLA QUESTIONE INFAME: COME L’ITALIA, UN PAESE E UN POPOLO LIBERO, ROVINO’

Perché l’Italia è diventata il Paese dell’incultura scientifica

L’amara riflessione di un fisico teorico sulla scuola e sui saperi in Italia

Sui gravi deficit accumulati. E sul fatto che le discipline umanistiche prevalgano sulle altre

di Carlo Rovelli (la Repubblica, 09.07.2014)

PENSO che la scuola italiana sia fra le migliori del mondo. Paradossalmente, penso lo sia soprattutto per chi vuole dedicarsi alla scienza, come ho fatto io. Non per caso giovani italiani brillano in tutti i migliori centri di ricerca del mondo. Hanno qualcosa che altri paesi fanno fatica a offrire: non solo fantasia e creatività, ma soprattutto un’ampia, solida e profonda cultura. Sono convinto che studiare Alceo, Kant e Michelangelo offra a uno scienziato strumenti di pensiero più acuminati che non passare ore a calcolare integrali, come fanno i ragazzi delle scuole d’élite di Parigi.

Sapere, conoscenza, intelligenza, formano un vasto complesso dove ogni parte si nutre di ogni altra. La nostra intelligenza del mondo si basa su tutto ciò insieme. Questo insieme è la cultura. Non voglio dire che per fare buona scienza sia strettamente necessario avere tradotto versi di Omero dal greco, o leggere Shakespeare, però penso che aiuti molto. Mi sono trovato spesso a lavorare con colleghi di formazione assai diversa.

Uno dei miei collaboratori (e amici) più stretti ha studiato nei college libertari dove si fuma marijuana e poi nelle top università degli Stati Uniti: non sa chi è Virgilio, ma ha una capacità di pensiero critico che io non ho. Un altro viene dal quell’amalgama di civiltà asiatica antica ed educazione inglese che è la scuola indiana, e ha una sottigliezza di pensiero analitico che io non avrò mai. Ma la capacità di guardare lontano e individuare i problemi chiave è venuta alla nostra collaborazione dalla scuola italiana, dall’ampiezza della sua prospettiva storica e culturale.

Questo la nostra scuola sa offrirlo. Al contrario, è la scienza che manca nella scuola, anzi, manca drammaticamente nella società italiana. L’Italia resta pericolosamente un paese di profonda incultura scientifica, sia confrontato con gli altri paesi europei, dove la scienza è rispettata profondamente, come non lo è da noi, sia forse ancor più confrontato con i paesi emergenti, che vedono nella cultura scientifica la chiave del loro sviluppo.

L’Italia è un paese di profonda incultura scientifica nella mancanza di scienza seria a scuola; nell’incapacità di avere discussioni dove si ascoltano con attenzione argomenti e contro-argomenti; nella diffusa ignoranza di scienza delle nostre élite, fin nel nostro parlamento, e peggio ancora nella stucchevole prosopopea di chi si fa vanto di non capire nulla di scienza.

In Italia, quando si dice “cultura” si pensa spesso, ahimè, a musei e opere liriche, quando non ai formaggi col miele delle valli. Cose preziose, per carità, ma non è qui la cultura. La cultura è la ricchezza e la complessità del nostro sapere, l’insieme degli strumenti concettuali di cui dispone una comunità per pensare a sé stessa e al mondo. Cultura classica e scientifica sono facce complementari di questo insieme, che si rafforzano l’una con l’altra.

La cultura del nostro paese è ricca, stratificata, e vivace. Se aziende italiane vendono dappertutto nel mondo, disegnatori italiani guidano lo stile del pianeta, se l’Italia è fra le dieci potenze economiche del mondo, è perché, nonostante la nostra caratteriale auto-disistima, siamo un popolo colto e intelligente. Ma l’incultura scientifica del paese è una nostra debolezza severa. I paesi più ricchi come i paesi emergenti sanno che senza cultura scientifica adeguata un paese oggi diventa rapidamente arretrato.

Il nostro paese arretra. Un paese lungimirante come la Cina oggi investe nella fondazione di università una fetta considerevole della sua ricchezza; giovani cinesi sono mandati in giro per il mondo, per raccogliere sapere e riportarlo a casa; nel mio piccolo gruppo di ricerca, a Marsiglia, ce ne sono quattro. Lo stesso stanno facendo i paesi arabi più lungimiranti. La stessa Africa sta costruendo centri di cultura e di educazione avanzata.

L’Italia le sue università le sta smantellando. La sfida per il futuro passa attraverso la cultura anche scientifica del paese. In America come in Canada come in Inghilterra le università sembrano alberghi di lusso o ville patrizie, e sono rispettate come templi del sapere; in Italia le migliori università sembrano caserme decrepite.

E pensare che la scienza moderna è stata inventata in Italia... L’Italia è innamorata del suo Rinascimento, come quegli uomini che per tutta la vita continuano a raccontare la loro giovinezza, ma si dimentica spesso del frutto forse più straordinario del maturo Rinascimento italiano: uomo di musica e di lettere, profondo conoscitore e amante dell’antichità classica, di Aristotele e Platone, uomo completo del Rinascimento.

Sto parlando di Galileo, l’iniziatore della scienza moderna, primo a capire come interrogare la Natura, primo a trovare una legge matematica che descrive il moto dei corpi sulla Terra, primo a guardare nel cielo cose che nessun umano aveva mai prima potuto immaginare.

Il sapere scientifico moderno, che ha cambiato il mondo, ci ha permesso di vivere come viviamo, ci ha dato la ricchezza fiammeggiante della conoscenza di oggi, ha visto nascere una parte importante di sé in Italia, raccontato in una limpida lingua italiana da uno fra i migliori scrittori che abbia avuto il nostro paese, sempre lui: Galileo. Mi piacerebbe che l’Italia fosse orgogliosa di Galileo, non solo di Raffaello.

Mi piacerebbe che l’Italia si allontanasse dall’idea che la cultura sia solo arte antica, o culto sterile del proprio passato; che l’Italia desse alla cultura e alla cultura scientifica in particolare la dignità che deve avere nella formazione di una persona.

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CREATIVITA’: KANT E LA CRITICA DELLA SOCIETA’ DELL’UOMO A “UNA” DIMENSIONE. —– «Changing the Ideology and Culture of Philosophy» (Sally Haslanger) 8 luglio 2014

Sebben che siamo donne non ci fa paura la filosofia

Il «pensiero femminile» è socialmente discriminato: un condizionamento negativo

La “rabbia” di una filosofa americana del Mit: in questo campo siamo discriminate, molte di noi costrette a lasciare

di Franca D’Agostini (La Stampa, 25.03.2012)

Sally Haslanger è una delle più brillanti filosofe americane: in un articolo su Hypathia confessa che da quanto è arrivata al Mit, nel ’98, si è più volte domandata se non fosse il caso di lasciare la filosofia “C’ è in me una rabbia profonda. Rabbia per come io sono stata trattata in filosofia. Rabbia per le condizioni ingiuste in cui molte altre donne e altre minoranze si sono trovate, e hanno spinto molti a lasciare. Da quando sono arrivata al Mit, nel 1998, sono stata in costante dialogo con me stessa sull’eventualità di lasciare la filosofia. E io sono stata molto fortunata. Sono una che ha avuto successo, in base agli standard professionali dominanti». S’inizia così «Changing the Ideology and Culture of Philosophy», un articolo di Sally Haslanger, una delle più brillanti filosofe americane, apparso su Hypathia .

C’è un problema, che riguarda le donne e la filosofia: inutile negarlo. «Nella mia esperienza è veramente difficile trovare un luogo in filosofia che non sia ostile verso le donne e altre minoranze», scrive Haslanger. E se capita così al Mit, potete immaginare quel che succede in Italia. È facile vedere che, mentre in tutte le facoltà le donne iniziano a essere presenti (anche se rimane il cosiddetto «tetto di cristallo», vale a dire: ai gradi accademici più alti ci sono quasi esclusivamente uomini), in filosofia la presenza femminile scarseggia.

Non sarà forse che le donne sono refrattarie alla filosofia, non la capiscono, non la apprezzano? Stephen Stich e Wesley Buchwalter, in «Gender and Philosophical Intuition» (in Experimental Philosophy, vol. 2), hanno riproposto il problema, esaminandolo nella prospettiva della filosofia sperimentale: una tendenza filosofica emergente, che mette in collegamento le tesi e i concetti filosofici con ricerche di tipo empirico (statistico, neurologico, sociologico, ecc). La prima conclusione di Stich e Buchwalter è che effettivamente sembra esserci una «resistenza» del «pensiero femminile» di fronte ad almeno alcuni importanti problemi filosofici. Stich e Buchwalter si chiedono perché, e avanzano alcune ipotesi, ma non giungono a una conclusione definitiva.

Le femministe italiane di Diotima avrebbero pronta la risposta: la filosofia praticata nel modo previsto da Stich e compagni è espressione estrema del «logocentrismo» maschile, dunque è chiaro che le donne non la praticano: sono interessate a qualcosa di meglio, coltivano un «altro pensiero». Ma qui si presenta un classico problema: in che cosa consisterebbe «l’altro pensiero» di cui le donne sarebbero portatrici? Se si tratta per esempio di «pensiero vivente», attento alle emozioni e alla vita, come a volte è stato detto, resta sempre da chiedersi: perché mai questo pensiero sarebbe proprio delle donne? Kierkegaard, che praticava e difendeva una filosofia di questo tipo, era forse una donna?